MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qextle 13039
Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextle
StepHypRef Expression
1 breq2 5096 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21ralrimivw 3143 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3 xrlttri2 12977 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 qextltlem 13037 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
65reximi 3083 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
74, 6syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
8 qextltlem 13037 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴))))
9 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴))
10 bicom 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
119, 10sylnib 327 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1211reximi 3083 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
138, 12syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
1413ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
157, 14jaod 856 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
163, 15sylbid 239 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
17 rexnal 3099 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1816, 17syl6ib 250 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
1918necon4ad 2959 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
202, 19impbid2 225 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5092  *cxr 11109   < clt 11110  cle 11111  cq 12789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator