MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qextle 12592
Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextle
StepHypRef Expression
1 breq2 5067 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21ralrimivw 3188 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3 xrlttri2 12530 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 qextltlem 12590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
65reximi 3248 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
74, 6syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
8 qextltlem 12590 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴))))
9 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴))
10 bicom 223 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
119, 10sylnib 329 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1211reximi 3248 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
138, 12syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
1413ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
157, 14jaod 855 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
163, 15sylbid 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
17 rexnal 3243 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1816, 17syl6ib 252 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
1918necon4ad 3040 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
202, 19impbid2 227 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cq 12342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator