MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qextlt 12283
Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextlt
StepHypRef Expression
1 breq2 4847 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
21ralrimivw 3148 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
3 xrlttri2 12222 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 qextltlem 12282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
5 simpl 475 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
65reximi 3191 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
74, 6syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
8 qextltlem 12282 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴))))
9 simpl 475 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴))
10 bicom 214 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
119, 10sylnib 320 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
1211reximi 3191 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
138, 12syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
1413ancoms 451 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
157, 14jaod 886 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
163, 15sylbid 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
17 rexnal 3175 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
1816, 17syl6ib 243 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
1918necon4ad 2990 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
202, 19impbid2 218 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090   class class class wbr 4843  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  cq 12033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator