Theorem max1 12919

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 12920. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11021	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11021	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 12909	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  z2ge  12932  ssfzunsnext  13301  uzsup  13583  expmulnbnd  13950  discr1  13954  rexuzre  15064  rexico  15065  caubnd  15070  limsupgre  15190  limsupbnd2  15192  rlim3  15207  lo1bdd2  15233  o1lo1  15246  rlimclim1  15254  lo1mul  15337  rlimno1  15365  cvgrat  15595  ruclem10  15948  bitsfzo  16142  1arith  16628  setsstruct2  16875  evth  24122  ioombl1lem1  24722  mbfi1flimlem  24887  itg2monolem3  24917  iblre  24958  itgreval  24961  iblss  24969  i1fibl  24972  itgitg1  24973  itgle  24974  itgeqa  24978  iblconst  24982  itgconst  24983  ibladdlem  24984  itgaddlem2  24988  iblabslem  24992  iblabsr  24994  iblmulc2  24995  itgmulc2lem2  24997  itgsplit  25000  plyaddlem1  25374  coeaddlem  25410  o1cxp  26124  cxp2lim  26126  cxploglim2  26128  ftalem1  26222  ftalem2  26223  chtppilim  26623  dchrisumlem3  26639  ostth2lem2  26782  ostth3  26786  knoppndvlem18  34709  ibladdnclem  35833  itgaddnclem2  35836  iblabsnclem  35840  iblmulc2nc  35842  itgmulc2nclem2  35844  ftc1anclem5  35854  irrapxlem4  40647  irrapxlem5  40648  rexabslelem  42958  uzublem  42970  max1d  42990  uzubioo  43105  climsuse  43149  limsupubuzlem  43253  limsupmnfuzlem  43267  limsupequzmptlem  43269  limsupre3uzlem  43276  liminflelimsuplem  43316  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475