Theorem max1 13212

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13213. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ifcif 4488   class class class wbr 5110  ℝcr 11100  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  z2ge  13225  ssfzunsnext  13599  uzsup  13898  expmulnbnd  14273  discr1  14277  rexuzre  15406  rexico  15407  caubnd  15412  limsupgre  15534  limsupbnd2  15536  rlim3  15551  lo1bdd2  15577  o1lo1  15590  rlimclim1  15598  lo1mul  15681  rlimno1  15707  cvgrat  15939  ruclem10  16296  bitsfzo  16494  1arith  16988  setsstruct2  17235  evth  25099  ioombl1lem1  25698  mbfi1flimlem  25862  itg2monolem3  25892  iblre  25934  itgreval  25937  iblss  25945  i1fibl  25948  itgitg1  25949  itgle  25950  itgeqa  25954  iblconst  25958  itgconst  25959  ibladdlem  25960  itgaddlem2  25964  iblabslem  25968  iblabsr  25970  iblmulc2  25971  itgmulc2lem2  25973  itgsplit  25976  plyaddlem1  26351  coeaddlem  26387  o1cxp  27120  cxp2lim  27122  cxploglim2  27124  ftalem1  27218  ftalem2  27219  chtppilim  27620  dchrisumlem3  27636  ostth2lem2  27779  ostth3  27783  knoppndvlem18  37099  ibladdnclem  38308  itgaddnclem2  38311  iblabsnclem  38315  iblmulc2nc  38317  itgmulc2nclem2  38319  ftc1anclem5  38329  irrapxlem4  43535  irrapxlem5  43536  rexabslelem  46115  uzublem  46127  max1d  46147  uzubioo  46264  climsuse  46307  limsupubuzlem  46409  limsupmnfuzlem  46423  limsupequzmptlem  46425  limsupre3uzlem  46432  liminflelimsuplem  46472  ioodvbdlimc1lem2  46629  ioodvbdlimc2lem  46631