Theorem max1 13318

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13319. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11358	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11358	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ℝcr 11202  ℝ^*cxr 11345   ≤ cle 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352

This theorem is used by:  z2ge  13331  ssfzunsnext  13706  uzsup  14006  expmulnbnd  14382  discr1  14386  rexuzre  15525  rexico  15526  caubnd  15531  limsupgre  15653  limsupbnd2  15655  rlim3  15670  lo1bdd2  15696  o1lo1  15709  rlimclim1  15717  lo1mul  15800  rlimno1  15826  cvgrat  16057  ruclem10  16412  bitsfzo  16610  1arith  17110  setsstruct2  17357  evth  25285  ioombl1lem1  25884  mbfi1flimlem  26048  itg2monolem3  26078  iblre  26119  itgreval  26122  iblss  26130  i1fibl  26133  itgitg1  26134  itgle  26135  itgeqa  26139  iblconst  26143  itgconst  26144  ibladdlem  26145  itgaddlem2  26149  iblabslem  26153  iblabsr  26155  iblmulc2  26156  itgmulc2lem2  26158  itgsplit  26161  plyaddlem1  26537  coeaddlem  26573  o1cxp  27307  cxp2lim  27309  cxploglim2  27311  ftalem1  27405  ftalem2  27406  chtppilim  27807  dchrisumlem3  27823  ostth2lem2  27966  ostth3  27970  knoppndvlem18  37487  ibladdnclem  38687  itgaddnclem2  38690  iblabsnclem  38694  iblmulc2nc  38696  itgmulc2nclem2  38698  ftc1anclem5  38708  irrapxlem4  43925  irrapxlem5  43926  rexabslelem  46521  uzublem  46533  max1d  46553  uzubioo  46670  climsuse  46713  limsupubuzlem  46815  limsupmnfuzlem  46829  limsupequzmptlem  46831  limsupre3uzlem  46838  liminflelimsuplem  46878  ioodvbdlimc1lem2  47035  ioodvbdlimc2lem  47037