Theorem max1 13145

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13146. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11220	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  z2ge  13158  ssfzunsnext  13530  uzsup  13825  expmulnbnd  14200  discr1  14204  rexuzre  15319  rexico  15320  caubnd  15325  limsupgre  15447  limsupbnd2  15449  rlim3  15464  lo1bdd2  15490  o1lo1  15503  rlimclim1  15511  lo1mul  15594  rlimno1  15620  cvgrat  15849  ruclem10  16207  bitsfzo  16405  1arith  16898  setsstruct2  17144  evth  24858  ioombl1lem1  25459  mbfi1flimlem  25623  itg2monolem3  25653  iblre  25695  itgreval  25698  iblss  25706  i1fibl  25709  itgitg1  25710  itgle  25711  itgeqa  25715  iblconst  25719  itgconst  25720  ibladdlem  25721  itgaddlem2  25725  iblabslem  25729  iblabsr  25731  iblmulc2  25732  itgmulc2lem2  25734  itgsplit  25737  plyaddlem1  26118  coeaddlem  26154  o1cxp  26885  cxp2lim  26887  cxploglim2  26889  ftalem1  26983  ftalem2  26984  chtppilim  27386  dchrisumlem3  27402  ostth2lem2  27545  ostth3  27549  knoppndvlem18  36517  ibladdnclem  37670  itgaddnclem2  37673  iblabsnclem  37677  iblmulc2nc  37679  itgmulc2nclem2  37681  ftc1anclem5  37691  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  rexabslelem  45414  uzublem  45426  max1d  45446  uzubioo  45563  climsuse  45606  limsupubuzlem  45710  limsupmnfuzlem  45724  limsupequzmptlem  45726  limsupre3uzlem  45733  liminflelimsuplem  45773  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932