Theorem max1 13162

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13163. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11258	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ifcif 4521   class class class wbr 5139  ℝcr 11106  ℝ^*cxr 11245   ≤ cle 11247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252

This theorem is referenced by:  z2ge  13175  ssfzunsnext  13544  uzsup  13826  expmulnbnd  14196  discr1  14200  rexuzre  15297  rexico  15298  caubnd  15303  limsupgre  15423  limsupbnd2  15425  rlim3  15440  lo1bdd2  15466  o1lo1  15479  rlimclim1  15487  lo1mul  15570  rlimno1  15598  cvgrat  15827  ruclem10  16181  bitsfzo  16375  1arith  16861  setsstruct2  17108  evth  24809  ioombl1lem1  25411  mbfi1flimlem  25576  itg2monolem3  25606  iblre  25647  itgreval  25650  iblss  25658  i1fibl  25661  itgitg1  25662  itgle  25663  itgeqa  25667  iblconst  25671  itgconst  25672  ibladdlem  25673  itgaddlem2  25677  iblabslem  25681  iblabsr  25683  iblmulc2  25684  itgmulc2lem2  25686  itgsplit  25689  plyaddlem1  26069  coeaddlem  26105  o1cxp  26826  cxp2lim  26828  cxploglim2  26830  ftalem1  26924  ftalem2  26925  chtppilim  27327  dchrisumlem3  27343  ostth2lem2  27486  ostth3  27490  knoppndvlem18  35896  ibladdnclem  37038  itgaddnclem2  37041  iblabsnclem  37045  iblmulc2nc  37047  itgmulc2nclem2  37049  ftc1anclem5  37059  irrapxlem4  42077  irrapxlem5  42078  rexabslelem  44638  uzublem  44650  max1d  44670  uzubioo  44790  climsuse  44834  limsupubuzlem  44938  limsupmnfuzlem  44952  limsupequzmptlem  44954  limsupre3uzlem  44961  liminflelimsuplem  45001  ioodvbdlimc1lem2  45158  ioodvbdlimc2lem  45160