Theorem max1 13112

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13113. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11190	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13102	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  z2ge  13125  ssfzunsnext  13497  uzsup  13795  expmulnbnd  14170  discr1  14174  rexuzre  15288  rexico  15289  caubnd  15294  limsupgre  15416  limsupbnd2  15418  rlim3  15433  lo1bdd2  15459  o1lo1  15472  rlimclim1  15480  lo1mul  15563  rlimno1  15589  cvgrat  15818  ruclem10  16176  bitsfzo  16374  1arith  16867  setsstruct2  17113  evth  24926  ioombl1lem1  25527  mbfi1flimlem  25691  itg2monolem3  25721  iblre  25763  itgreval  25766  iblss  25774  i1fibl  25777  itgitg1  25778  itgle  25779  itgeqa  25783  iblconst  25787  itgconst  25788  ibladdlem  25789  itgaddlem2  25793  iblabslem  25797  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  itgmulc2lem2  25802  itgsplit  25805  plyaddlem1  26186  coeaddlem  26222  o1cxp  26953  cxp2lim  26955  cxploglim2  26957  ftalem1  27051  ftalem2  27052  chtppilim  27454  dchrisumlem3  27470  ostth2lem2  27613  ostth3  27617  knoppndvlem18  36748  ibladdnclem  37921  itgaddnclem2  37924  iblabsnclem  37928  iblmulc2nc  37930  itgmulc2nclem2  37932  ftc1anclem5  37942  irrapxlem4  43176  irrapxlem5  43177  rexabslelem  45770  uzublem  45782  max1d  45802  uzubioo  45919  climsuse  45962  limsupubuzlem  46064  limsupmnfuzlem  46078  limsupequzmptlem  46080  limsupre3uzlem  46087  liminflelimsuplem  46127  ioodvbdlimc1lem2  46284  ioodvbdlimc2lem  46286