Theorem max1 13086

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13087. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11165	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13076	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ifcif 4474   class class class wbr 5093  ℝcr 11012  ℝ^*cxr 11152   ≤ cle 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159

This theorem is referenced by:  z2ge  13099  ssfzunsnext  13471  uzsup  13769  expmulnbnd  14144  discr1  14148  rexuzre  15262  rexico  15263  caubnd  15268  limsupgre  15390  limsupbnd2  15392  rlim3  15407  lo1bdd2  15433  o1lo1  15446  rlimclim1  15454  lo1mul  15537  rlimno1  15563  cvgrat  15792  ruclem10  16150  bitsfzo  16348  1arith  16841  setsstruct2  17087  evth  24886  ioombl1lem1  25487  mbfi1flimlem  25651  itg2monolem3  25681  iblre  25723  itgreval  25726  iblss  25734  i1fibl  25737  itgitg1  25738  itgle  25739  itgeqa  25743  iblconst  25747  itgconst  25748  ibladdlem  25749  itgaddlem2  25753  iblabslem  25757  iblabsr  25759  iblmulc2  25760  itgmulc2lem2  25762  itgsplit  25765  plyaddlem1  26146  coeaddlem  26182  o1cxp  26913  cxp2lim  26915  cxploglim2  26917  ftalem1  27011  ftalem2  27012  chtppilim  27414  dchrisumlem3  27430  ostth2lem2  27573  ostth3  27577  knoppndvlem18  36594  ibladdnclem  37736  itgaddnclem2  37739  iblabsnclem  37743  iblmulc2nc  37745  itgmulc2nclem2  37747  ftc1anclem5  37757  irrapxlem4  42942  irrapxlem5  42943  rexabslelem  45540  uzublem  45552  max1d  45572  uzubioo  45689  climsuse  45732  limsupubuzlem  45834  limsupmnfuzlem  45848  limsupequzmptlem  45850  limsupre3uzlem  45857  liminflelimsuplem  45897  ioodvbdlimc1lem2  46054  ioodvbdlimc2lem  46056