Theorem max1 13228

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13229. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11308	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ifcif 4524   class class class wbr 5142  ℝcr 11155  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302

This theorem is referenced by:  z2ge  13241  ssfzunsnext  13610  uzsup  13904  expmulnbnd  14275  discr1  14279  rexuzre  15392  rexico  15393  caubnd  15398  limsupgre  15518  limsupbnd2  15520  rlim3  15535  lo1bdd2  15561  o1lo1  15574  rlimclim1  15582  lo1mul  15665  rlimno1  15691  cvgrat  15920  ruclem10  16276  bitsfzo  16473  1arith  16966  setsstruct2  17212  evth  24992  ioombl1lem1  25594  mbfi1flimlem  25758  itg2monolem3  25788  iblre  25830  itgreval  25833  iblss  25841  i1fibl  25844  itgitg1  25845  itgle  25846  itgeqa  25850  iblconst  25854  itgconst  25855  ibladdlem  25856  itgaddlem2  25860  iblabslem  25864  iblabsr  25866  iblmulc2  25867  itgmulc2lem2  25869  itgsplit  25872  plyaddlem1  26253  coeaddlem  26289  o1cxp  27019  cxp2lim  27021  cxploglim2  27023  ftalem1  27117  ftalem2  27118  chtppilim  27520  dchrisumlem3  27536  ostth2lem2  27679  ostth3  27683  knoppndvlem18  36531  ibladdnclem  37684  itgaddnclem2  37687  iblabsnclem  37691  iblmulc2nc  37693  itgmulc2nclem2  37695  ftc1anclem5  37705  irrapxlem4  42841  irrapxlem5  42842  rexabslelem  45434  uzublem  45446  max1d  45466  uzubioo  45585  climsuse  45628  limsupubuzlem  45732  limsupmnfuzlem  45746  limsupequzmptlem  45748  limsupre3uzlem  45755  liminflelimsuplem  45795  ioodvbdlimc1lem2  45952  ioodvbdlimc2lem  45954