Theorem max1 13171

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13172. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11267	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ifcif 4528   class class class wbr 5148  ℝcr 11115  ℝ^*cxr 11254   ≤ cle 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261

This theorem is referenced by:  z2ge  13184  ssfzunsnext  13553  uzsup  13835  expmulnbnd  14205  discr1  14209  rexuzre  15306  rexico  15307  caubnd  15312  limsupgre  15432  limsupbnd2  15434  rlim3  15449  lo1bdd2  15475  o1lo1  15488  rlimclim1  15496  lo1mul  15579  rlimno1  15607  cvgrat  15836  ruclem10  16189  bitsfzo  16383  1arith  16867  setsstruct2  17114  evth  24718  ioombl1lem1  25320  mbfi1flimlem  25485  itg2monolem3  25515  iblre  25556  itgreval  25559  iblss  25567  i1fibl  25570  itgitg1  25571  itgle  25572  itgeqa  25576  iblconst  25580  itgconst  25581  ibladdlem  25582  itgaddlem2  25586  iblabslem  25590  iblabsr  25592  iblmulc2  25593  itgmulc2lem2  25595  itgsplit  25598  plyaddlem1  25976  coeaddlem  26012  o1cxp  26730  cxp2lim  26732  cxploglim2  26734  ftalem1  26828  ftalem2  26829  chtppilim  27229  dchrisumlem3  27245  ostth2lem2  27388  ostth3  27392  knoppndvlem18  35721  ibladdnclem  36860  itgaddnclem2  36863  iblabsnclem  36867  iblmulc2nc  36869  itgmulc2nclem2  36871  ftc1anclem5  36881  irrapxlem4  41878  irrapxlem5  41879  rexabslelem  44439  uzublem  44451  max1d  44471  uzubioo  44591  climsuse  44635  limsupubuzlem  44739  limsupmnfuzlem  44753  limsupequzmptlem  44755  limsupre3uzlem  44762  liminflelimsuplem  44802  ioodvbdlimc1lem2  44959  ioodvbdlimc2lem  44961