MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max1 13105
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13106. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 11202 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 11202 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmax1 13095 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
41, 2, 3syl2an 597 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cr 11051  *cxr 11189  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  z2ge  13118  ssfzunsnext  13487  uzsup  13769  expmulnbnd  14139  discr1  14143  rexuzre  15238  rexico  15239  caubnd  15244  limsupgre  15364  limsupbnd2  15366  rlim3  15381  lo1bdd2  15407  o1lo1  15420  rlimclim1  15428  lo1mul  15511  rlimno1  15539  cvgrat  15769  ruclem10  16122  bitsfzo  16316  1arith  16800  setsstruct2  17047  evth  24325  ioombl1lem1  24925  mbfi1flimlem  25090  itg2monolem3  25120  iblre  25161  itgreval  25164  iblss  25172  i1fibl  25175  itgitg1  25176  itgle  25177  itgeqa  25181  iblconst  25185  itgconst  25186  ibladdlem  25187  itgaddlem2  25191  iblabslem  25195  iblabsr  25197  iblmulc2  25198  itgmulc2lem2  25200  itgsplit  25203  plyaddlem1  25577  coeaddlem  25613  o1cxp  26327  cxp2lim  26329  cxploglim2  26331  ftalem1  26425  ftalem2  26426  chtppilim  26826  dchrisumlem3  26842  ostth2lem2  26985  ostth3  26989  knoppndvlem18  34995  ibladdnclem  36137  itgaddnclem2  36140  iblabsnclem  36144  iblmulc2nc  36146  itgmulc2nclem2  36148  ftc1anclem5  36158  irrapxlem4  41151  irrapxlem5  41152  rexabslelem  43660  uzublem  43672  max1d  43692  uzubioo  43812  climsuse  43856  limsupubuzlem  43960  limsupmnfuzlem  43974  limsupequzmptlem  43976  limsupre3uzlem  43983  liminflelimsuplem  44023  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182
  Copyright terms: Public domain W3C validator