Theorem max1 12311

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 12312. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10409	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 12301	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164  ifcif 4308   class class class wbr 4875  ℝcr 10258  ℝ^*cxr 10397   ≤ cle 10399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404

This theorem is referenced by:  z2ge  12324  ssfzunsnext  12686  uzsup  12964  expmulnbnd  13297  discr1  13301  rexuzre  14476  rexico  14477  caubnd  14482  limsupgre  14596  limsupbnd2  14598  rlim3  14613  lo1bdd2  14639  o1lo1  14652  rlimclim1  14660  lo1mul  14742  rlimno1  14768  cvgrat  14995  ruclem10  15349  bitsfzo  15537  1arith  16009  setsstruct2  16267  evth  23135  ioombl1lem1  23731  mbfi1flimlem  23895  itg2monolem3  23925  iblre  23966  itgreval  23969  iblss  23977  i1fibl  23980  itgitg1  23981  itgle  23982  itgeqa  23986  iblconst  23990  itgconst  23991  ibladdlem  23992  itgaddlem2  23996  iblabslem  24000  iblabsr  24002  iblmulc2  24003  itgmulc2lem2  24005  itgsplit  24008  plyaddlem1  24375  coeaddlem  24411  o1cxp  25121  cxp2lim  25123  cxploglim2  25125  ftalem1  25219  ftalem2  25220  chtppilim  25584  dchrisumlem3  25600  ostth2lem2  25743  ostth3  25747  knoppndvlem18  33047  ibladdnclem  34004  itgaddnclem2  34007  iblabsnclem  34011  iblmulc2nc  34013  itgmulc2nclem2  34015  ftc1anclem5  34027  irrapxlem4  38228  irrapxlem5  38229  rexabslelem  40434  uzublem  40446  max1d  40467  uzubioo  40583  climsuse  40629  limsupubuzlem  40733  limsupmnfuzlem  40747  limsupequzmptlem  40749  limsupre3uzlem  40756  liminflelimsuplem  40796  ioodvbdlimc1lem2  40936  ioodvbdlimc2lem  40938