Theorem max1 13202

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13203. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11243	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ifcif 4483   class class class wbr 5105  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  z2ge  13215  ssfzunsnext  13588  uzsup  13887  expmulnbnd  14262  discr1  14266  rexuzre  15394  rexico  15395  caubnd  15400  limsupgre  15522  limsupbnd2  15524  rlim3  15539  lo1bdd2  15565  o1lo1  15578  rlimclim1  15586  lo1mul  15669  rlimno1  15695  cvgrat  15927  ruclem10  16285  bitsfzo  16483  1arith  16977  setsstruct2  17224  evth  25079  ioombl1lem1  25678  mbfi1flimlem  25842  itg2monolem3  25872  iblre  25914  itgreval  25917  iblss  25925  i1fibl  25928  itgitg1  25929  itgle  25930  itgeqa  25934  iblconst  25938  itgconst  25939  ibladdlem  25940  itgaddlem2  25944  iblabslem  25948  iblabsr  25950  iblmulc2  25951  itgmulc2lem2  25953  itgsplit  25956  plyaddlem1  26331  coeaddlem  26367  o1cxp  27097  cxp2lim  27099  cxploglim2  27101  ftalem1  27195  ftalem2  27196  chtppilim  27597  dchrisumlem3  27613  ostth2lem2  27756  ostth3  27760  knoppndvlem18  36980  ibladdnclem  38187  itgaddnclem2  38190  iblabsnclem  38194  iblmulc2nc  38196  itgmulc2nclem2  38198  ftc1anclem5  38208  irrapxlem4  43414  irrapxlem5  43415  rexabslelem  45990  uzublem  46002  max1d  46022  uzubioo  46139  climsuse  46182  limsupubuzlem  46284  limsupmnfuzlem  46298  limsupequzmptlem  46300  limsupre3uzlem  46307  liminflelimsuplem  46347  ioodvbdlimc1lem2  46504  ioodvbdlimc2lem  46506