Theorem max1 13081

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13082. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11155	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13071	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ifcif 4475   class class class wbr 5091  ℝcr 11002  ℝ^*cxr 11142   ≤ cle 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149

This theorem is referenced by:  z2ge  13094  ssfzunsnext  13466  uzsup  13764  expmulnbnd  14139  discr1  14143  rexuzre  15257  rexico  15258  caubnd  15263  limsupgre  15385  limsupbnd2  15387  rlim3  15402  lo1bdd2  15428  o1lo1  15441  rlimclim1  15449  lo1mul  15532  rlimno1  15558  cvgrat  15787  ruclem10  16145  bitsfzo  16343  1arith  16836  setsstruct2  17082  evth  24883  ioombl1lem1  25484  mbfi1flimlem  25648  itg2monolem3  25678  iblre  25720  itgreval  25723  iblss  25731  i1fibl  25734  itgitg1  25735  itgle  25736  itgeqa  25740  iblconst  25744  itgconst  25745  ibladdlem  25746  itgaddlem2  25750  iblabslem  25754  iblabsr  25756  iblmulc2  25757  itgmulc2lem2  25759  itgsplit  25762  plyaddlem1  26143  coeaddlem  26179  o1cxp  26910  cxp2lim  26912  cxploglim2  26914  ftalem1  27008  ftalem2  27009  chtppilim  27411  dchrisumlem3  27427  ostth2lem2  27570  ostth3  27574  knoppndvlem18  36562  ibladdnclem  37715  itgaddnclem2  37718  iblabsnclem  37722  iblmulc2nc  37724  itgmulc2nclem2  37726  ftc1anclem5  37736  irrapxlem4  42857  irrapxlem5  42858  rexabslelem  45455  uzublem  45467  max1d  45487  uzubioo  45604  climsuse  45647  limsupubuzlem  45749  limsupmnfuzlem  45763  limsupequzmptlem  45765  limsupre3uzlem  45772  liminflelimsuplem  45812  ioodvbdlimc1lem2  45969  ioodvbdlimc2lem  45971