Theorem max1 13105

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13106. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11180	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13095	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ifcif 4478   class class class wbr 5095  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  z2ge  13118  ssfzunsnext  13490  uzsup  13785  expmulnbnd  14160  discr1  14164  rexuzre  15278  rexico  15279  caubnd  15284  limsupgre  15406  limsupbnd2  15408  rlim3  15423  lo1bdd2  15449  o1lo1  15462  rlimclim1  15470  lo1mul  15553  rlimno1  15579  cvgrat  15808  ruclem10  16166  bitsfzo  16364  1arith  16857  setsstruct2  17103  evth  24874  ioombl1lem1  25475  mbfi1flimlem  25639  itg2monolem3  25669  iblre  25711  itgreval  25714  iblss  25722  i1fibl  25725  itgitg1  25726  itgle  25727  itgeqa  25731  iblconst  25735  itgconst  25736  ibladdlem  25737  itgaddlem2  25741  iblabslem  25745  iblabsr  25747  iblmulc2  25748  itgmulc2lem2  25750  itgsplit  25753  plyaddlem1  26134  coeaddlem  26170  o1cxp  26901  cxp2lim  26903  cxploglim2  26905  ftalem1  26999  ftalem2  27000  chtppilim  27402  dchrisumlem3  27418  ostth2lem2  27561  ostth3  27565  knoppndvlem18  36502  ibladdnclem  37655  itgaddnclem2  37658  iblabsnclem  37662  iblmulc2nc  37664  itgmulc2nclem2  37666  ftc1anclem5  37676  irrapxlem4  42798  irrapxlem5  42799  rexabslelem  45398  uzublem  45410  max1d  45430  uzubioo  45547  climsuse  45590  limsupubuzlem  45694  limsupmnfuzlem  45708  limsupequzmptlem  45710  limsupre3uzlem  45717  liminflelimsuplem  45757  ioodvbdlimc1lem2  45914  ioodvbdlimc2lem  45916