Theorem max1 13137

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13138. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11191	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ifcif 4466   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  z2ge  13150  ssfzunsnext  13523  uzsup  13822  expmulnbnd  14197  discr1  14201  rexuzre  15315  rexico  15316  caubnd  15321  limsupgre  15443  limsupbnd2  15445  rlim3  15460  lo1bdd2  15486  o1lo1  15499  rlimclim1  15507  lo1mul  15590  rlimno1  15616  cvgrat  15848  ruclem10  16206  bitsfzo  16404  1arith  16898  setsstruct2  17144  evth  24926  ioombl1lem1  25525  mbfi1flimlem  25689  itg2monolem3  25719  iblre  25761  itgreval  25764  iblss  25772  i1fibl  25775  itgitg1  25776  itgle  25777  itgeqa  25781  iblconst  25785  itgconst  25786  ibladdlem  25787  itgaddlem2  25791  iblabslem  25795  iblabsr  25797  iblmulc2  25798  itgmulc2lem2  25800  itgsplit  25803  plyaddlem1  26178  coeaddlem  26214  o1cxp  26938  cxp2lim  26940  cxploglim2  26942  ftalem1  27036  ftalem2  27037  chtppilim  27438  dchrisumlem3  27454  ostth2lem2  27597  ostth3  27601  knoppndvlem18  36789  ibladdnclem  37997  itgaddnclem2  38000  iblabsnclem  38004  iblmulc2nc  38006  itgmulc2nclem2  38008  ftc1anclem5  38018  irrapxlem4  43253  irrapxlem5  43254  rexabslelem  45846  uzublem  45858  max1d  45878  uzubioo  45995  climsuse  46038  limsupubuzlem  46140  limsupmnfuzlem  46154  limsupequzmptlem  46156  limsupre3uzlem  46163  liminflelimsuplem  46203  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362