Theorem max1 13247

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13248. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11336	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11336	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ifcif 4548   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  z2ge  13260  ssfzunsnext  13629  uzsup  13914  expmulnbnd  14284  discr1  14288  rexuzre  15401  rexico  15402  caubnd  15407  limsupgre  15527  limsupbnd2  15529  rlim3  15544  lo1bdd2  15570  o1lo1  15583  rlimclim1  15591  lo1mul  15674  rlimno1  15702  cvgrat  15931  ruclem10  16287  bitsfzo  16481  1arith  16974  setsstruct2  17221  evth  25010  ioombl1lem1  25612  mbfi1flimlem  25777  itg2monolem3  25807  iblre  25849  itgreval  25852  iblss  25860  i1fibl  25863  itgitg1  25864  itgle  25865  itgeqa  25869  iblconst  25873  itgconst  25874  ibladdlem  25875  itgaddlem2  25879  iblabslem  25883  iblabsr  25885  iblmulc2  25886  itgmulc2lem2  25888  itgsplit  25891  plyaddlem1  26272  coeaddlem  26308  o1cxp  27036  cxp2lim  27038  cxploglim2  27040  ftalem1  27134  ftalem2  27135  chtppilim  27537  dchrisumlem3  27553  ostth2lem2  27696  ostth3  27700  knoppndvlem18  36495  ibladdnclem  37636  itgaddnclem2  37639  iblabsnclem  37643  iblmulc2nc  37645  itgmulc2nclem2  37647  ftc1anclem5  37657  irrapxlem4  42781  irrapxlem5  42782  rexabslelem  45333  uzublem  45345  max1d  45365  uzubioo  45485  climsuse  45529  limsupubuzlem  45633  limsupmnfuzlem  45647  limsupequzmptlem  45649  limsupre3uzlem  45656  liminflelimsuplem  45696  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855