Theorem max1 13241

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13242. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11283	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277

This theorem is used by:  z2ge  13254  ssfzunsnext  13628  uzsup  13928  expmulnbnd  14303  discr1  14307  rexuzre  15444  rexico  15445  caubnd  15450  limsupgre  15572  limsupbnd2  15574  rlim3  15589  lo1bdd2  15615  o1lo1  15628  rlimclim1  15636  lo1mul  15719  rlimno1  15745  cvgrat  15976  ruclem10  16333  bitsfzo  16531  1arith  17025  setsstruct2  17272  evth  25193  ioombl1lem1  25792  mbfi1flimlem  25956  itg2monolem3  25986  iblre  26028  itgreval  26031  iblss  26039  i1fibl  26042  itgitg1  26043  itgle  26044  itgeqa  26048  iblconst  26052  itgconst  26053  ibladdlem  26054  itgaddlem2  26058  iblabslem  26062  iblabsr  26064  iblmulc2  26065  itgmulc2lem2  26067  itgsplit  26070  plyaddlem1  26446  coeaddlem  26482  o1cxp  27219  cxp2lim  27221  cxploglim2  27223  ftalem1  27317  ftalem2  27318  chtppilim  27719  dchrisumlem3  27735  ostth2lem2  27878  ostth3  27882  knoppndvlem18  37234  ibladdnclem  38433  itgaddnclem2  38436  iblabsnclem  38440  iblmulc2nc  38442  itgmulc2nclem2  38444  ftc1anclem5  38454  irrapxlem4  43674  irrapxlem5  43675  rexabslelem  46254  uzublem  46266  max1d  46286  uzubioo  46403  climsuse  46446  limsupubuzlem  46548  limsupmnfuzlem  46562  limsupequzmptlem  46564  limsupre3uzlem  46571  liminflelimsuplem  46611  ioodvbdlimc1lem2  46768  ioodvbdlimc2lem  46770