Theorem max1 12848

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 12849. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10952	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 12838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  z2ge  12861  ssfzunsnext  13230  uzsup  13511  expmulnbnd  13878  discr1  13882  rexuzre  14992  rexico  14993  caubnd  14998  limsupgre  15118  limsupbnd2  15120  rlim3  15135  lo1bdd2  15161  o1lo1  15174  rlimclim1  15182  lo1mul  15265  rlimno1  15293  cvgrat  15523  ruclem10  15876  bitsfzo  16070  1arith  16556  setsstruct2  16803  evth  24028  ioombl1lem1  24627  mbfi1flimlem  24792  itg2monolem3  24822  iblre  24863  itgreval  24866  iblss  24874  i1fibl  24877  itgitg1  24878  itgle  24879  itgeqa  24883  iblconst  24887  itgconst  24888  ibladdlem  24889  itgaddlem2  24893  iblabslem  24897  iblabsr  24899  iblmulc2  24900  itgmulc2lem2  24902  itgsplit  24905  plyaddlem1  25279  coeaddlem  25315  o1cxp  26029  cxp2lim  26031  cxploglim2  26033  ftalem1  26127  ftalem2  26128  chtppilim  26528  dchrisumlem3  26544  ostth2lem2  26687  ostth3  26691  knoppndvlem18  34636  ibladdnclem  35760  itgaddnclem2  35763  iblabsnclem  35767  iblmulc2nc  35769  itgmulc2nclem2  35771  ftc1anclem5  35781  irrapxlem4  40563  irrapxlem5  40564  rexabslelem  42848  uzublem  42860  max1d  42880  uzubioo  42995  climsuse  43039  limsupubuzlem  43143  limsupmnfuzlem  43157  limsupequzmptlem  43159  limsupre3uzlem  43166  liminflelimsuplem  43206  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365