Theorem max1 13161

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13162. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11257	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ifcif 4528   class class class wbr 5148  ℝcr 11106  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by:  z2ge  13174  ssfzunsnext  13543  uzsup  13825  expmulnbnd  14195  discr1  14199  rexuzre  15296  rexico  15297  caubnd  15302  limsupgre  15422  limsupbnd2  15424  rlim3  15439  lo1bdd2  15465  o1lo1  15478  rlimclim1  15486  lo1mul  15569  rlimno1  15597  cvgrat  15826  ruclem10  16179  bitsfzo  16373  1arith  16857  setsstruct2  17104  evth  24467  ioombl1lem1  25067  mbfi1flimlem  25232  itg2monolem3  25262  iblre  25303  itgreval  25306  iblss  25314  i1fibl  25317  itgitg1  25318  itgle  25319  itgeqa  25323  iblconst  25327  itgconst  25328  ibladdlem  25329  itgaddlem2  25333  iblabslem  25337  iblabsr  25339  iblmulc2  25340  itgmulc2lem2  25342  itgsplit  25345  plyaddlem1  25719  coeaddlem  25755  o1cxp  26469  cxp2lim  26471  cxploglim2  26473  ftalem1  26567  ftalem2  26568  chtppilim  26968  dchrisumlem3  26984  ostth2lem2  27127  ostth3  27131  knoppndvlem18  35394  ibladdnclem  36533  itgaddnclem2  36536  iblabsnclem  36540  iblmulc2nc  36542  itgmulc2nclem2  36544  ftc1anclem5  36554  irrapxlem4  41549  irrapxlem5  41550  rexabslelem  44115  uzublem  44127  max1d  44147  uzubioo  44267  climsuse  44311  limsupubuzlem  44415  limsupmnfuzlem  44429  limsupequzmptlem  44431  limsupre3uzlem  44438  liminflelimsuplem  44478  ioodvbdlimc1lem2  44635  ioodvbdlimc2lem  44637