Theorem max1 13185

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13186. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11225	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ifcif 4479   class class class wbr 5099  ℝcr 11069  ℝ^*cxr 11212   ≤ cle 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219

This theorem is referenced by:  z2ge  13198  ssfzunsnext  13571  uzsup  13870  expmulnbnd  14245  discr1  14249  rexuzre  15363  rexico  15364  caubnd  15369  limsupgre  15491  limsupbnd2  15493  rlim3  15508  lo1bdd2  15534  o1lo1  15547  rlimclim1  15555  lo1mul  15638  rlimno1  15664  cvgrat  15896  ruclem10  16254  bitsfzo  16452  1arith  16946  setsstruct2  17193  evth  25001  ioombl1lem1  25600  mbfi1flimlem  25764  itg2monolem3  25794  iblre  25836  itgreval  25839  iblss  25847  i1fibl  25850  itgitg1  25851  itgle  25852  itgeqa  25856  iblconst  25860  itgconst  25861  ibladdlem  25862  itgaddlem2  25866  iblabslem  25870  iblabsr  25872  iblmulc2  25873  itgmulc2lem2  25875  itgsplit  25878  plyaddlem1  26253  coeaddlem  26289  o1cxp  27016  cxp2lim  27018  cxploglim2  27020  ftalem1  27114  ftalem2  27115  chtppilim  27516  dchrisumlem3  27532  ostth2lem2  27675  ostth3  27679  knoppndvlem18  36931  ibladdnclem  38139  itgaddnclem2  38142  iblabsnclem  38146  iblmulc2nc  38148  itgmulc2nclem2  38150  ftc1anclem5  38160  irrapxlem4  43366  irrapxlem5  43367  rexabslelem  45956  uzublem  45968  max1d  45988  uzubioo  46105  climsuse  46148  limsupubuzlem  46250  limsupmnfuzlem  46264  limsupequzmptlem  46266  limsupre3uzlem  46273  liminflelimsuplem  46313  ioodvbdlimc1lem2  46470  ioodvbdlimc2lem  46472