Theorem max1 13128

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 13129. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11182	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 13118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  z2ge  13141  ssfzunsnext  13514  uzsup  13813  expmulnbnd  14188  discr1  14192  rexuzre  15306  rexico  15307  caubnd  15312  limsupgre  15434  limsupbnd2  15436  rlim3  15451  lo1bdd2  15477  o1lo1  15490  rlimclim1  15498  lo1mul  15581  rlimno1  15607  cvgrat  15839  ruclem10  16197  bitsfzo  16395  1arith  16889  setsstruct2  17135  evth  24936  ioombl1lem1  25535  mbfi1flimlem  25699  itg2monolem3  25729  iblre  25771  itgreval  25774  iblss  25782  i1fibl  25785  itgitg1  25786  itgle  25787  itgeqa  25791  iblconst  25795  itgconst  25796  ibladdlem  25797  itgaddlem2  25801  iblabslem  25805  iblabsr  25807  iblmulc2  25808  itgmulc2lem2  25810  itgsplit  25813  plyaddlem1  26188  coeaddlem  26224  o1cxp  26952  cxp2lim  26954  cxploglim2  26956  ftalem1  27050  ftalem2  27051  chtppilim  27452  dchrisumlem3  27468  ostth2lem2  27611  ostth3  27615  knoppndvlem18  36805  ibladdnclem  38011  itgaddnclem2  38014  iblabsnclem  38018  iblmulc2nc  38020  itgmulc2nclem2  38022  ftc1anclem5  38032  irrapxlem4  43271  irrapxlem5  43272  rexabslelem  45864  uzublem  45876  max1d  45896  uzubioo  46013  climsuse  46056  limsupubuzlem  46158  limsupmnfuzlem  46172  limsupequzmptlem  46174  limsupre3uzlem  46181  liminflelimsuplem  46221  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380