MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qbtwnre 12587
Description: The rational numbers are dense in : any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 11127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 10944 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3 nnrecl 11889 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))
42, 3sylan 580 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))
54ex 413 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
65ancoms 459 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
71, 6sylbid 241 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
8 nnre 11639 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
10 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 10665 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ)
12 peano2rem 10947 . . . . . . 7 ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
14 zbtwnre 12340 . . . . . 6 (((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
15 reurex 3437 . . . . . 6 (∃!𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
1613, 14, 153syl 18 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
17 znq 12346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
1817ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
1918adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
20 an32 642 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ↔ ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
218ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
22 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22remulcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
2413adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
25 zre 11979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
2625ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
27 ltletr 10726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧))
2823, 24, 26, 27syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧))
2921recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3130recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3222recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3329, 31, 32subdid 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · (𝐵𝐴)) = ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴)))
3433breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (1 < (𝑦 · (𝐵𝐴)) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
35 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℝ)
3630, 22resubcld 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
37 nngt0 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
3837ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 0 < 𝑦)
39 ltdivmul 11509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵𝐴))))
4035, 36, 21, 38, 39syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵𝐴))))
4111adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ)
42 ltsub13 11115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
4323, 41, 35, 42syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
4434, 40, 433bitr4rd 313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
4544anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧)))
4645biancomd 464 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))))
47 ltmuldiv2 11508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
4822, 26, 21, 38, 47syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
4928, 46, 483imtr3d 294 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → 𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
5041recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
51 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
52 npcan 10889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵))
5350, 51, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵))
5453breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
55 ltdivmul 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
5626, 30, 21, 38, 55syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
5754, 56bitr4d 283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
5857biimpd 230 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) → (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
5949, 58anim12d 608 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
6020, 59syl5bi 243 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
61 breq2 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝐴 < 𝑥𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
62 breq1 5066 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝑥 < 𝐵 ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
6361, 62anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
6463rspcev 3627 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
6519, 60, 64syl6an 680 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
6665expd 416 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))))
6766expr 457 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℤ → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))))
6867rexlimdv 3288 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))))
6916, 68mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7069rexlimdva 3289 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
717, 70syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
72713impia 1111 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  ∃!wreu 3145   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  cz 11975  cq 12342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12588  qsqueeze  12589  nmoleub2lem3  23653  mbfaddlem  24195  rpnnen3lem  39512
  Copyright terms: Public domain W3C validator