MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qbtwnre 13118
Description: The rational numbers are dense in : any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 11648 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 11465 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3 nnrecl 12411 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))
42, 3sylan 580 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))
54ex 413 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
65ancoms 459 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
71, 6sylbid 239 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
8 nnre 12160 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
10 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ)
12 peano2rem 11468 . . . . . . 7 ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
14 zbtwnre 12871 . . . . . 6 (((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
15 reurex 3357 . . . . . 6 (∃!𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
1613, 14, 153syl 18 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
17 znq 12877 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
1817ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
1918adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
20 an32 644 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ↔ ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
218ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
22 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
2413adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
25 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
2625ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
27 ltletr 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧))
2823, 24, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧))
2921recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3130recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3222recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3329, 31, 32subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · (𝐵𝐴)) = ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴)))
3433breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (1 < (𝑦 · (𝐵𝐴)) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
35 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℝ)
3630, 22resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
37 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
3837ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 0 < 𝑦)
39 ltdivmul 12030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵𝐴))))
4035, 36, 21, 38, 39syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵𝐴))))
4111adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ)
42 ltsub13 11636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
4323, 41, 35, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
4434, 40, 433bitr4rd 311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
4544anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧)))
4645biancomd 464 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))))
47 ltmuldiv2 12029 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
4822, 26, 21, 38, 47syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
4928, 46, 483imtr3d 292 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → 𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
5041recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
51 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
52 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵))
5350, 51, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵))
5453breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
55 ltdivmul 12030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
5626, 30, 21, 38, 55syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
5754, 56bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
5857biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) → (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
5949, 58anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
6020, 59biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
61 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝐴 < 𝑥𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
62 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝑥 < 𝐵 ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
6361, 62anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
6463rspcev 3581 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
6519, 60, 64syl6an 682 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
6665expd 416 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))))
6766expr 457 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℤ → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))))
6867rexlimdv 3150 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))))
6916, 68mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7069rexlimdva 3152 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
717, 70syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
72713impia 1117 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  ∃!wreu 3351   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  cq 12873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13119  qsqueeze  13120  nmoleub2lem3  24478  mbfaddlem  25024  rpnnen3lem  41341
  Copyright terms: Public domain W3C validator