| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | posdif 11756 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) |
| 2 | | resubcl 11573 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
| 3 | | nnrecl 12524 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) |
| 4 | 2, 3 | sylan 580 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 <
(𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) |
| 5 | 4 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 <
(𝐵 − 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴))) |
| 6 | 5 | ancoms 458 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 <
(𝐵 − 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴))) |
| 7 | 1, 6 | sylbid 240 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴))) |
| 8 | | nnre 12273 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈
ℝ) |
| 9 | 8 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈
ℝ) |
| 10 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 11 | 9, 10 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ) |
| 12 | | peano2rem 11576 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈
ℝ) |
| 13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈
ℝ) |
| 14 | | zbtwnre 12988 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ →
∃!𝑧 ∈ ℤ
(((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1))) |
| 15 | | reurex 3384 |
. . . . . 6
⊢
(∃!𝑧 ∈
ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1))) |
| 16 | 13, 14, 15 | 3syl 18 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) →
∃𝑧 ∈ ℤ
(((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1))) |
| 17 | | znq 12994 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ) |
| 18 | 17 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ) |
| 19 | 18 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ) |
| 20 | | an32 646 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑦 ·
𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1))) |
| 21 | 8 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈
ℝ) |
| 22 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈
ℝ) |
| 23 | 21, 22 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 24 | 13 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈
ℝ) |
| 25 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈
ℝ) |
| 26 | 25 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈
ℝ) |
| 27 | | ltletr 11353 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧)) |
| 28 | 23, 24, 26, 27 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
(((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧)) |
| 29 | 21 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈
ℂ) |
| 30 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 31 | 30 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 32 | 22 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 33 | 29, 31, 32 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))) |
| 34 | 33 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (1 <
(𝑦 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴)))) |
| 35 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 1
∈ ℝ) |
| 36 | 30, 22 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
| 37 | | nngt0 12297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 <
𝑦) |
| 38 | 37 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 0 <
𝑦) |
| 39 | | ltdivmul 12143 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝐵
− 𝐴) ∈ ℝ
∧ (𝑦 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑦)) → ((1
/ 𝑦) < (𝐵 − 𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵 − 𝐴)))) |
| 40 | 35, 36, 21, 38, 39 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((1 /
𝑦) < (𝐵 − 𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵 − 𝐴)))) |
| 41 | 11 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ) |
| 42 | | ltsub13 11744 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
→ ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴)))) |
| 43 | 23, 41, 35, 42 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴)))) |
| 44 | 34, 40, 43 | 3bitr4rd 312 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴))) |
| 45 | 44 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
(((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧))) |
| 46 | 45 | biancomd 463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
(((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)))) |
| 47 | | ltmuldiv2 12142 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑦)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧 ↔ 𝐴 < (𝑧 / 𝑦))) |
| 48 | 22, 26, 21, 38, 47 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧 ↔ 𝐴 < (𝑧 / 𝑦))) |
| 49 | 28, 46, 48 | 3imtr3d 293 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) → 𝐴 < (𝑧 / 𝑦))) |
| 50 | 41 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ) |
| 51 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 52 | | npcan 11517 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)
→ (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵)) |
| 53 | 50, 51, 52 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
(((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵)) |
| 54 | 53 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝑧 < (𝑦 · 𝐵))) |
| 55 | | ltdivmul 12143 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑦)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵 ↔ 𝑧 < (𝑦 · 𝐵))) |
| 56 | 26, 30, 21, 38, 55 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵 ↔ 𝑧 < (𝑦 · 𝐵))) |
| 57 | 54, 56 | bitr4d 282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)) |
| 58 | 57 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) → (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)) |
| 59 | 49, 58 | anim12d 609 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
(((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))) |
| 60 | 20, 59 | biimtrid 242 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
(((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))) |
| 61 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑧 / 𝑦))) |
| 62 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝑥 < 𝐵 ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)) |
| 63 | 61, 62 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))) |
| 64 | 63 | rspcev 3622 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) |
| 65 | 19, 60, 64 | syl6an 684 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
(((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) |
| 66 | 65 | expd 415 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) →
((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))) |
| 67 | 66 | expr 456 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℤ → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))))) |
| 68 | 67 | rexlimdv 3153 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) →
(∃𝑧 ∈ ℤ
(((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵 − 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))) |
| 69 | 16, 68 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((1 /
𝑦) < (𝐵 − 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) |
| 70 | 69 | rexlimdva 3155 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
(∃𝑦 ∈ ℕ (1
/ 𝑦) < (𝐵 − 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) |
| 71 | 7, 70 | syld 47 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) |
| 72 | 71 | 3impia 1118 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) |