MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qbtwnre 13125
Description: The rational numbers are dense in โ„: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 11655 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
2 resubcl 11472 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
3 nnrecl 12418 . . . . . . 7 (((๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
42, 3sylan 581 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด))
54ex 414 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
65ancoms 460 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
71, 6sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
8 nnre 12167 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
98adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
10 simplr 768 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
119, 10remulcld 11192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
12 peano2rem 11475 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
14 zbtwnre 12878 . . . . . 6 (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)))
15 reurex 3360 . . . . . 6 (โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)))
1613, 14, 153syl 18 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)))
17 znq 12884 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
1817ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
1918adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„š)
20 an32 645 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โˆง (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)))
218ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
22 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2321, 22remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
2413adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
25 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
27 ltletr 11254 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) < ๐‘ง))
2823, 24, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) < ๐‘ง))
2921recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
30 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3130recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3222recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3329, 31, 32subdid 11618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
3433breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (1 < (๐‘ฆ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” 1 < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐ด))))
35 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3630, 22resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
37 nngt0 12191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
39 ltdivmul 12037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฆ)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†” 1 < (๐‘ฆ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4035, 36, 21, 38, 39syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†” 1 < (๐‘ฆ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4111adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
42 ltsub13 11643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ†” 1 < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐ด))))
4323, 41, 35, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ†” 1 < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐ด))))
4434, 40, 433bitr4rd 312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ†” (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
4544anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง) โ†” ((1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง)))
4645biancomd 465 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง) โ†” (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด))))
47 ltmuldiv2 12036 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ๐‘ง โ†” ๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ)))
4822, 26, 21, 38, 47syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) < ๐‘ง โ†” ๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ)))
4928, 46, 483imtr3d 293 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ ๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ)))
5041recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
51 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„‚
52 npcan 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘ฆ ยท ๐ต))
5350, 51, 52sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘ฆ ยท ๐ต))
5453breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1) โ†” ๐‘ง < (๐‘ฆ ยท ๐ต)))
55 ltdivmul 12037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต โ†” ๐‘ง < (๐‘ฆ ยท ๐ต)))
5626, 30, 21, 38, 55syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต โ†” ๐‘ง < (๐‘ฆ ยท ๐ต)))
5754, 56bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1) โ†” (๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต))
5857biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต))
5949, 58anim12d 610 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โ†’ (๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต)))
6020, 59biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โˆง (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ (๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต)))
61 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด < ๐‘ฅ โ†” ๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ)))
62 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ < ๐ต โ†” (๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต))
6361, 62anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ง / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต) โ†” (๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต)))
6463rspcev 3584 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„š โˆง (๐ด < (๐‘ง / ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง / ๐‘ฆ) < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
6519, 60, 64syl6an 683 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โˆง (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต)))
6665expd 417 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))))
6766expr 458 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต)))))
6867rexlimdv 3151 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (((๐‘ฆ ยท ๐ต) โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))))
6916, 68mpd 15 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต)))
7069rexlimdva 3153 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (1 / ๐‘ฆ) < (๐ต โˆ’ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต)))
717, 70syld 47 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต)))
72713impia 1118 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„š (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  โˆƒ!wreu 3354   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506  โ„šcq 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13126  qsqueeze  13127  nmoleub2lem3  24494  mbfaddlem  25040  rpnnen3lem  41384
  Copyright terms: Public domain W3C validator