Theorem zeroopropdlem 49403

Description: Lemma for zeroopropd 49406. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
initopropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
initopropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
initopropdlem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
zeroopropdlem	⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘𝐷))

Proof of Theorem zeroopropdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroofn 17904	. 2 ⊢ ZeroO Fn Cat
2		initopropdlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ V)
3		ssv 3955	. 2 ⊢ Cat ⊆ V
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
7	4, 5, 6	zerooval 17910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (ZeroO‘𝐷) = ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)))
8		initopropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
9		initopropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
10	8, 9, 2	initopropdlem 49401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐶) = (InitO‘𝐷))
11		fvprc 6823	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (InitO‘𝐶) = ∅)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐶) = ∅)
13	10, 12	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐷) = ∅)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (InitO‘𝐷) = ∅)
15	8, 9, 2	termopropdlem 49402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐶) = (TermO‘𝐷))
16		fvprc 6823	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (TermO‘𝐶) = ∅)
17	2, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐶) = ∅)
18	15, 17	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐷) = ∅)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (TermO‘𝐷) = ∅)
20	14, 19	ineq12d 4170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)) = (∅ ∩ ∅))
21		inidm 4176	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)) = ∅)
23	7, 22	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (ZeroO‘𝐷) = ∅)
24	1, 2, 3, 23	initopropdlemlem 49400	1 ⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  Hom chom 17179  Catccat 17578  Hom_f chomf 17580  comp_fccomf 17581  InitOcinito 17896  TermOctermo 17897  ZeroOczeroo 17898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-homf 17584  df-inito 17899  df-termo 17900  df-zeroo 17901

This theorem is referenced by:  zeroopropd  49406