Theorem zeroopropdlem 49204

Description: Lemma for zeroopropd 49207. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
initopropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
initopropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
initopropdlem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
zeroopropdlem	⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘𝐷))

Proof of Theorem zeroopropdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroofn 17927	. 2 ⊢ ZeroO Fn Cat
2		initopropdlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ V)
3		ssv 3968	. 2 ⊢ Cat ⊆ V
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
7	4, 5, 6	zerooval 17933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (ZeroO‘𝐷) = ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)))
8		initopropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
9		initopropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
10	8, 9, 2	initopropdlem 49202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐶) = (InitO‘𝐷))
11		fvprc 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (InitO‘𝐶) = ∅)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐶) = ∅)
13	10, 12	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐷) = ∅)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (InitO‘𝐷) = ∅)
15	8, 9, 2	termopropdlem 49203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐶) = (TermO‘𝐷))
16		fvprc 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (TermO‘𝐶) = ∅)
17	2, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐶) = ∅)
18	15, 17	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐷) = ∅)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (TermO‘𝐷) = ∅)
20	14, 19	ineq12d 4180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)) = (∅ ∩ ∅))
21		inidm 4186	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)) = ∅)
23	7, 22	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (ZeroO‘𝐷) = ∅)
24	1, 2, 3, 23	initopropdlemlem 49201	1 ⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Hom chom 17207  Catccat 17601  Hom_f chomf 17603  comp_fccomf 17604  InitOcinito 17919  TermOctermo 17920  ZeroOczeroo 17921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-homf 17607  df-inito 17922  df-termo 17923  df-zeroo 17924

This theorem is referenced by:  zeroopropd  49207