Theorem zeroopropdlem 50168

Description: Lemma for zeroopropd 50171. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
initopropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
initopropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
initopropdlem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
zeroopropdlem	⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘𝐷))

Proof of Theorem zeroopropdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroofn 18078	. 2 ⊢ ZeroO Fn Cat
2		initopropdlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ V)
3		ssv 3955	. 2 ⊢ Cat ⊆ V
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
7	4, 5, 6	zerooval 18084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (ZeroO‘𝐷) = ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)))
8		initopropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
9		initopropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
10	8, 9, 2	initopropdlem 50166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐶) = (InitO‘𝐷))
11		fvprc 6870	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (InitO‘𝐶) = ∅)
12	2, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐶) = ∅)
13	10, 12	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (InitO‘𝐷) = ∅)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (InitO‘𝐷) = ∅)
15	8, 9, 2	termopropdlem 50167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐶) = (TermO‘𝐷))
16		fvprc 6870	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (TermO‘𝐶) = ∅)
17	2, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐶) = ∅)
18	15, 17	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TermO‘𝐷) = ∅)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (TermO‘𝐷) = ∅)
20	14, 19	ineq12d 4167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)) = (∅ ∩ ∅))
21		inidm 4172	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((InitO‘𝐷) ∩ (TermO‘𝐷)) = ∅)
23	7, 22	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (ZeroO‘𝐷) = ∅)
24	1, 2, 3, 23	initopropdlemlem 50165	1 ⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  Hom chom 17353  Catccat 17752  Hom_f chomf 17754  comp_fccomf 17755  InitOcinito 18070  TermOctermo 18071  ZeroOczeroo 18072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-homf 17758  df-inito 18073  df-termo 18074  df-zeroo 18075

This theorem is used by:  zeroopropd  50171