ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnqprl GIF version

Theorem addnqprl 7528
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprl ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด +P ๐ต))))

Proof of Theorem addnqprl
Dummy variables ๐‘Ÿ ๐‘ž ๐‘  ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 7474 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
2 addnqprllem 7526 . . . . . 6 (((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
31, 2sylanl1 402 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
43adantlr 477 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
5 prop 7474 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โˆˆ P)
6 addnqprllem 7526 . . . . . 6 (((โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)))
75, 6sylanl1 402 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)))
87adantll 476 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)))
94, 8jcad 307 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป) โˆˆ (1st โ€˜๐ต))))
10 simpl 109 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))))
11 simpl 109 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
12 simpl 109 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ P)
1311, 12anim12i 338 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โ†’ (๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P))
14 df-iplp 7467 . . . . 5 +P = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ž โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆƒ๐‘  โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘  โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ž = (๐‘Ÿ +Q ๐‘ ))}, {๐‘ž โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆƒ๐‘  โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘  โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ž = (๐‘Ÿ +Q ๐‘ ))}โŸฉ)
15 addclnq 7374 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆง ๐‘  โˆˆ Q) โ†’ (๐‘Ÿ +Q ๐‘ ) โˆˆ Q)
1614, 15genpprecll 7513 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ ((((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) +Q ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป)) โˆˆ (1st โ€˜(๐ด +P ๐ต))))
1710, 13, 163syl 17 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) +Q ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป)) โˆˆ (1st โ€˜(๐ด +P ๐ต))))
189, 17syld 45 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) +Q ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป)) โˆˆ (1st โ€˜(๐ด +P ๐ต))))
19 simpr 110 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Q)
20 elprnql 7480 . . . . . . . . 9 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐บ โˆˆ Q)
211, 20sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐บ โˆˆ Q)
2221ad2antrr 488 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ๐บ โˆˆ Q)
23 elprnql 7480 . . . . . . . . 9 ((โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ ๐ป โˆˆ Q)
245, 23sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ ๐ป โˆˆ Q)
2524ad2antlr 489 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ๐ป โˆˆ Q)
26 addclnq 7374 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Q โˆง ๐ป โˆˆ Q) โ†’ (๐บ +Q ๐ป) โˆˆ Q)
2722, 25, 26syl2anc 411 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐บ +Q ๐ป) โˆˆ Q)
28 recclnq 7391 . . . . . 6 ((๐บ +Q ๐ป) โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) โˆˆ Q)
2927, 28syl 14 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) โˆˆ Q)
30 mulassnqg 7383 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) โˆˆ Q โˆง (๐บ +Q ๐ป) โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ (๐บ +Q ๐ป)) = (๐‘‹ ยทQ ((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) ยทQ (๐บ +Q ๐ป))))
3119, 29, 27, 30syl3anc 1238 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ (๐บ +Q ๐ป)) = (๐‘‹ ยทQ ((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) ยทQ (๐บ +Q ๐ป))))
32 mulclnq 7375 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) โˆˆ Q)
3319, 29, 32syl2anc 411 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) โˆˆ Q)
34 distrnqg 7386 . . . . 5 (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) โˆˆ Q โˆง ๐บ โˆˆ Q โˆง ๐ป โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ (๐บ +Q ๐ป)) = (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) +Q ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป)))
3533, 22, 25, 34syl3anc 1238 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ (๐บ +Q ๐ป)) = (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) +Q ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป)))
36 mulcomnqg 7382 . . . . . . . 8 (((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) โˆˆ Q โˆง (๐บ +Q ๐ป) โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) ยทQ (๐บ +Q ๐ป)) = ((๐บ +Q ๐ป) ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))))
3729, 27, 36syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) ยทQ (๐บ +Q ๐ป)) = ((๐บ +Q ๐ป) ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))))
38 recidnq 7392 . . . . . . . 8 ((๐บ +Q ๐ป) โˆˆ Q โ†’ ((๐บ +Q ๐ป) ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) = 1Q)
3927, 38syl 14 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((๐บ +Q ๐ป) ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) = 1Q)
4037, 39eqtrd 2210 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) ยทQ (๐บ +Q ๐ป)) = 1Q)
4140oveq2d 5891 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ ยทQ ((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) ยทQ (๐บ +Q ๐ป))) = (๐‘‹ ยทQ 1Q))
42 mulidnq 7388 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Q โ†’ (๐‘‹ ยทQ 1Q) = ๐‘‹)
4342adantl 277 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ ยทQ 1Q) = ๐‘‹)
4441, 43eqtrd 2210 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ ยทQ ((*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป)) ยทQ (๐บ +Q ๐ป))) = ๐‘‹)
4531, 35, 443eqtr3d 2218 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) +Q ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป)) = ๐‘‹)
4645eleq1d 2246 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ ((((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐บ) +Q ((๐‘‹ ยทQ (*Qโ€˜(๐บ +Q ๐ป))) ยทQ ๐ป)) โˆˆ (1st โ€˜(๐ด +P ๐ต)) โ†” ๐‘‹ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด +P ๐ต))))
4718, 46sylibd 149 1 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ป โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‹ <Q (๐บ +Q ๐ป) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด +P ๐ต))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  1st c1st 6139  2nd c2nd 6140  Qcnq 7279  1Qc1q 7280   +Q cplq 7281   ยทQ cmq 7282  *Qcrq 7283   <Q cltq 7284  Pcnp 7290   +P cpp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-inp 7465  df-iplp 7467
This theorem is referenced by:  addlocprlemlt  7530  addclpr  7536
  Copyright terms: Public domain W3C validator