Theorem assamulgscmlem2 15042

Description: Lemma for assamulgscm 15043 (induction step). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscmlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

Proof of Theorem assamulgscmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 15007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		assamulgscm.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
3	2	ringmgp 14306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐻 ∈ Mnd)
5	4	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐻 ∈ Mnd)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐻 ∈ Mnd)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝐻 ∈ Mnd)
8		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9		assalmod 15006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑊 ∈ LMod)
11		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		assamulgscm.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		assamulgscm.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		assamulgscm.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16		assamulgscm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 14641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
21	2, 13	mgpbas 14225	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
22		assamulgscm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
23		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
24	2, 23	mgpplusg 14222	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘𝐻)
25	21, 22, 24	mulgnn0p1 13936	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
26	7, 8, 20, 25	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
27		oveq1 6092	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)))
28		simprr 537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
29		assamulgscm.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30	14	eqcomi 2242	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = 𝐹
31	30	fveq2i 5698	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐹)
32	29, 31	mgpbas 14225	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐺)
33		assamulgscm.p	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
34	14	assasca 15008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
35	29	ringmgp 14306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐺 ∈ Mnd)
39		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘𝐹))
41	14	fveq2i 5698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42	40, 41	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	42	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
44	43	biimpcd 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
46	45	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48	32, 33, 38, 39, 47	mulgnn0cld 13946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
49		simprlr 544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	21, 22, 6, 39, 49	mulgnn0cld 13946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
51		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
53	13, 51, 52, 15, 23	assaass 15004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
54	28, 48, 50, 19, 53	syl13anc 1280	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))))
55	13, 51, 52, 15, 23	assaassr 15005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑦𝐸𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
56	28, 47, 50, 49, 55	syl13anc 1280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)))
57	56	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))))
58	21, 22, 24	mulgnn0p1 13936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
59	6, 39, 49, 58	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) = ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))
60	59	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
61	60	oveq2d 6101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋)) = (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
62	61	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)𝑋))) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
63	10	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝑊 ∈ LMod)
64		peano2nn0 9603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
65	64	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
66	21, 22, 6, 65, 49	mulgnn0cld 13946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)
67		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
68	13, 51, 15, 52, 67	lmodvsass 14650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
69	68	eqcomd 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑦 + 1)𝐸𝑋) ∈ 𝑉)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
70	63, 48, 47, 66, 69	syl13anc 1280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝐴 · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
71	57, 62, 70	3eqtrd 2275	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) · ((𝑦𝐸𝑋)(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋))) = (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
72		simprll 543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
73	29, 16	mgpbas 14225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
74		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
75	29, 74	mgpplusg 14222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐹) = (+g‘𝐺)
76	73, 33, 75	mulgnn0p1 13936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
77	38, 39, 72, 76	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴))
78	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
79	78	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (.r‘𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
80	79	oveqd 6102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
81	77, 80	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴))
82	81	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
83	82	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
84	54, 71, 83	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) → (((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
85	27, 84	sylan9eqr 2293	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋))(.r‘𝑊)(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
86	26, 85	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg)) ∧ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
87	86	exp31 364	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℕ₀cn0 9563  Basecbs 13352  ._rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   ·_𝑠 cvsca 13435  Mndcmnd 13729  ._gcmg 13922  mulGrpcmgp 14217  Ringcrg 14300  LModclmod 14623  AssAlgcasa 14996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-minusg 13809  df-mulg 13923  df-mgp 14218  df-ring 14302  df-lmod 14625  df-assa 14999

This theorem is used by:  assamulgscm  15043