Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsext GIF version

Theorem dvdsext 11460
 Description: Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsext ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dvdsext
StepHypRef Expression
1 breq1 3900 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
21ralrimivw 2481 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥))
3 simpll 501 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4 simplr 502 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
5 nn0z 9028 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
6 iddvds 11413 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
75, 6syl 14 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵𝐵)
87ad2antlr 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐵𝐵)
9 breq2 3901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
10 breq2 3901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵𝑥𝐵𝐵))
119, 10bibi12d 234 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1211rspcva 2759 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
1312adantll 465 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
148, 13mpbird 166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴𝐵)
15 nn0z 9028 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
16 iddvds 11413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴𝐴)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴𝐴)
1817ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴𝐴)
19 breq2 3901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
20 breq2 3901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
2119, 20bibi12d 234 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐴𝐵𝐴)))
2221rspcva 2759 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
2322adantlr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
2418, 23mpbid 146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐵𝐴)
25 dvdseq 11453 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
263, 4, 14, 24, 25syl22anc 1200 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴 = 𝐵)
2726ex 114 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥) → 𝐴 = 𝐵))
282, 27impbid2 142 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2391   class class class wbr 3897  ℕ0cn0 8931  ℤcz 9008   ∥ cdvds 11400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator