Theorem dvdsext 12417

Description: Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsext	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dvdsext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4091	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥))
2	1	ralrimivw 2606	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥))
3		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		simplr 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
5		nn0z 9499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
6		iddvds 12366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∥ 𝐵)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∥ 𝐵)
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐵 ∥ 𝐵)
9		breq2 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
10		breq2 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
11	9, 10	bibi12d 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵)))
12	11	rspcva 2908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
13	12	adantll 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
15		nn0z 9499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
16		iddvds 12366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐴)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∥ 𝐴)
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 ∥ 𝐴)
19		breq2 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐴 ∥ 𝐴))
20		breq2 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
21	19, 20	bibi12d 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥) ↔ (𝐴 ∥ 𝐴 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴)))
22	21	rspcva 2908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐴 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
23	22	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐴 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
24	18, 23	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐵 ∥ 𝐴)
25		dvdseq 12410	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
26	3, 4, 14, 24, 25	syl22anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 = 𝐵)
27	26	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥) → 𝐴 = 𝐵))
28	2, 27	impbid2 143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479   ∥ cdvds 12349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-seqfrec 10710  df-exp 10801  df-cj 11403  df-re 11404  df-im 11405  df-rsqrt 11559  df-abs 11560  df-dvds 12350

This theorem is referenced by: (None)