Theorem dvdsext 12199

Description: Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsext	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dvdsext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4048	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥))
2	1	ralrimivw 2580	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥))
3		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
5		nn0z 9394	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
6		iddvds 12148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∥ 𝐵)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∥ 𝐵)
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐵 ∥ 𝐵)
9		breq2 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
10		breq2 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
11	9, 10	bibi12d 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵)))
12	11	rspcva 2875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
13	12	adantll 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
15		nn0z 9394	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
16		iddvds 12148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐴)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∥ 𝐴)
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 ∥ 𝐴)
19		breq2 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐴 ∥ 𝐴))
20		breq2 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
21	19, 20	bibi12d 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥) ↔ (𝐴 ∥ 𝐴 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴)))
22	21	rspcva 2875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐴 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
23	22	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → (𝐴 ∥ 𝐴 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
24	18, 23	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐵 ∥ 𝐴)
25		dvdseq 12192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
26	3, 4, 14, 24, 25	syl22anc 1251	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)) → 𝐴 = 𝐵)
27	26	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥) → 𝐴 = 𝐵))
28	2, 27	impbid2 143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴 ∥ 𝑥 ↔ 𝐵 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484   class class class wbr 4045  ℕ₀cn0 9297  ℤcz 9374   ∥ cdvds 12131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-dvds 12132

This theorem is referenced by: (None)