Theorem elfzo0 10277

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 10245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 9658	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 10254	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 10276	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 10251	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 9364	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 10244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7898   < clt 8080  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ..^cfzo 10236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-fzo 10237

This theorem is referenced by:  fzo1fzo0n0  10278  elfzo0z  10279  elfzo0le  10280  fzonmapblen  10282  fzofzim  10283  ubmelfzo  10295  elfzodifsumelfzo  10296  elfzonlteqm1  10305  fzonn0p1  10306  fzonn0p1p1  10308  elfzom1p1elfzo  10309  ubmelm1fzo  10321  subfzo0  10337  zmodidfzoimp  10465  modfzo0difsn  10506  modsumfzodifsn  10507  addmodlteq  10509  addmodlteqALT  12043  hashgcdlem  12433