Theorem elfzo0 9581

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 9550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 9046	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 9558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 9580	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 9555	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1123	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 8759	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 945	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 9549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 124	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 103   ∧ w3a 924   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3843  ‘cfv 5010  (class class class)co 5644  0cc0 7340   < clt 7512  ℕcn 8412  ℕ₀cn0 8663  ℤcz 8740  ℤ_≥cuz 9009  ..^cfzo 9541

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-ltadd 7451

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415  df-fzo 9542

This theorem is referenced by:  fzo1fzo0n0  9582  elfzo0z  9583  elfzo0le  9584  fzonmapblen  9586  fzofzim  9587  ubmelfzo  9599  elfzodifsumelfzo  9600  elfzonlteqm1  9609  fzonn0p1  9610  fzonn0p1p1  9612  elfzom1p1elfzo  9613  ubmelm1fzo  9625  subfzo0  9641  zmodidfzoimp  9749  modfzo0difsn  9790  modsumfzodifsn  9791  addmodlteq  9793  addmodlteqALT  11125  hashgcdlem  11468