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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > omgadd | Unicode version |
Description: Mapping ordinal addition to integer addition. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.) |
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omgadd.1 |
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omgadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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2 | 1 | fveq2d 5357 |
. . . . 5
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3 | fveq2 5353 |
. . . . . 6
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4 | 3 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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5 | 2, 4 | eqeq12d 2114 |
. . . 4
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6 | 5 | imbi2d 229 |
. . 3
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7 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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8 | 7 | fveq2d 5357 |
. . . . 5
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9 | fveq2 5353 |
. . . . . 6
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10 | 9 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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11 | 8, 10 | eqeq12d 2114 |
. . . 4
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12 | 11 | imbi2d 229 |
. . 3
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13 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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14 | 13 | fveq2d 5357 |
. . . . 5
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15 | fveq2 5353 |
. . . . . 6
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16 | 15 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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17 | 14, 16 | eqeq12d 2114 |
. . . 4
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18 | 17 | imbi2d 229 |
. . 3
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19 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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20 | 19 | fveq2d 5357 |
. . . . 5
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21 | fveq2 5353 |
. . . . . 6
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22 | 21 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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23 | 20, 22 | eqeq12d 2114 |
. . . 4
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24 | 23 | imbi2d 229 |
. . 3
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25 | omgadd.1 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | frechashgf1o 10042 |
. . . . . . . 8
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27 | f1of 5301 |
. . . . . . . 8
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28 | 26, 27 | ax-mp 7 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | ffvelrni 5486 |
. . . . . 6
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30 | 29 | nn0cnd 8884 |
. . . . 5
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31 | 30 | addid1d 7782 |
. . . 4
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32 | 0zd 8918 |
. . . . . 6
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33 | 32, 25 | frec2uz0d 10013 |
. . . . 5
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34 | 33 | oveq2d 5722 |
. . . 4
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35 | nna0 6300 |
. . . . 5
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36 | 35 | fveq2d 5357 |
. . . 4
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37 | 31, 34, 36 | 3eqtr4rd 2143 |
. . 3
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38 | nnasuc 6302 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | fveq2d 5357 |
. . . . . . . . 9
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40 | 0zd 8918 |
. . . . . . . . . 10
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41 | nnacl 6306 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 40, 25, 41 | frec2uzsucd 10015 |
. . . . . . . . 9
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43 | 39, 42 | eqtrd 2132 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | 3adant3 969 |
. . . . . . 7
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45 | 30 | 3ad2ant1 970 |
. . . . . . . . 9
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46 | 28 | ffvelrni 5486 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 46 | nn0cnd 8884 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 47 | 3ad2ant2 971 |
. . . . . . . . 9
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49 | 1cnd 7654 |
. . . . . . . . 9
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50 | 45, 48, 49 | addassd 7660 |
. . . . . . . 8
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51 | oveq1 5713 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | 3ad2ant3 972 |
. . . . . . . 8
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53 | 0zd 8918 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | id 19 |
. . . . . . . . . . 11
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55 | 53, 25, 54 | frec2uzsucd 10015 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 55 | oveq2d 5722 |
. . . . . . . . 9
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57 | 56 | 3ad2ant2 971 |
. . . . . . . 8
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58 | 50, 52, 57 | 3eqtr4d 2142 |
. . . . . . 7
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59 | 44, 58 | eqtrd 2132 |
. . . . . 6
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60 | 59 | 3expia 1151 |
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63 | 6, 12, 18, 24, 37, 62 | finds 4452 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-addcom 7595 ax-addass 7597 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-ltadd 7611 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-irdg 6197 df-frec 6218 df-oadd 6247 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-inn 8579 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 |
This theorem is referenced by: hashun 10392 |
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