Theorem flqaddz 10603

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10579	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zred 9646	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4		qre 9903	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	zred 9646	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		flqle 10584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 8781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁))
11		1red 8237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
12	3, 11	readdcld 8251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13		flqltp1 10585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 8778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁))
16	2	zcnd 9647	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
17		1cnd 8238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
18	6	zcnd 9647	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	add32d 8389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
20	15, 19	breqtrd 4119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
21		zq 9904	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
22		qaddcl 9913	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ)
23	21, 22	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ)
24		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
25	24	flqcld 10583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
26	25, 6	zaddcld 9650	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ)
27		flqbi 10596	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
29	10, 20, 28	mpbir2and 953	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℤcz 9523  ℚcq 9897  ⌊cfl 10574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-q 9898  df-rp 9933  df-fl 10576

This theorem is referenced by:  flqzadd  10604  modqcyc  10667  bitsmod  12580  fldivp1  12984