Theorem flqaddz 10265

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zred 9346	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4		qre 9596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	zred 9346	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		flqle 10246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 8490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁))
11		1red 7947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
12	3, 11	readdcld 7961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13		flqltp1 10247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 8487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁))
16	2	zcnd 9347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
17		1cnd 7948	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
18	6	zcnd 9347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	add32d 8099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
20	15, 19	breqtrd 4024	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
21		zq 9597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
22		qaddcl 9606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ)
23	21, 22	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ)
24		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
25	24	flqcld 10245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
26	25, 6	zaddcld 9350	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ)
27		flqbi 10258	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
29	10, 20, 28	mpbir2and 944	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966   ≤ cle 7967  ℤcz 9224  ℚcq 9590  ⌊cfl 10236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-q 9591  df-rp 9623  df-fl 10238

This theorem is referenced by:  flqzadd  10266  modqcyc  10327  fldivp1  12311