Theorem flqaddz 10387

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zred 9448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4		qre 9699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	zred 9448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		flqle 10368	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 8586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁))
11		1red 8041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
12	3, 11	readdcld 8056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13		flqltp1 10369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 8583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁))
16	2	zcnd 9449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
17		1cnd 8042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
18	6	zcnd 9449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	add32d 8194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
20	15, 19	breqtrd 4059	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
21		zq 9700	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
22		qaddcl 9709	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ)
23	21, 22	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ)
24		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
25	24	flqcld 10367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
26	25, 6	zaddcld 9452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ)
27		flqbi 10380	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
29	10, 20, 28	mpbir2and 946	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ⌊cfl 10358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360

This theorem is referenced by:  flqzadd  10388  modqcyc  10451  fldivp1  12517