Theorem fzo0to42pr 10426

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9386	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9388	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9180	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9187	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9284	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8249	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10308	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1203	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10375	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10424	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9476	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10344	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9188	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8092	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9185	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9171	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2250	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8435	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9170	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2250	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6012	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9474	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10273	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2233	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3747	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2254	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3356	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2250	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {cpr 3667   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001  0cc0 7999  1c1 8000   + caddc 8002   ≤ cle 8182   − cmin 8317  2c2 9161  3c3 9162  4c4 9163  ℕ₀cn0 9369  ℤcz 9446  ...cfz 10204  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by: (None)