Theorem fzo0to42pr 10655

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9591	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9593	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9383	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9390	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9489	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8435	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10536	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1210	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10603	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10653	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9685	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10572	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9391	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8278	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9388	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9374	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8622	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9373	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6099	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9683	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10501	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2242	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3792	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2263	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3381	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2259	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   ≤ cle 8367   − cmin 8504  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ...cfz 10428  ..^cfzo 10566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by: (None)