Theorem fzo0to42pr 10565

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9513	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9515	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9307	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9314	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9411	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8376	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10446	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1206	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10513	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10563	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9607	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10482	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9315	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8220	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9312	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2253	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2236	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8562	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9297	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2253	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6061	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9605	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10411	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2236	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3772	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2257	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3371	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2253	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3209  {cpr 3690   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   ≤ cle 8309   − cmin 8444  2c2 9288  3c3 9289  4c4 9290  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by: (None)