Theorem fzo0to42pr 10528

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9478	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9480	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9272	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9279	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9376	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8341	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10409	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1206	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10476	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10526	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9570	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10445	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9280	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8185	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9277	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8527	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9262	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6039	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9568	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10374	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2235	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3756	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2256	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3361	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2252	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3199  {cpr 3674   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095   ≤ cle 8274   − cmin 8409  2c2 9253  3c3 9254  4c4 9255  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540  ...cfz 10305  ..^cfzo 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440

This theorem is referenced by: (None)