Theorem fzo0to42pr 10101

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9090	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9092	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 8886	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 8893	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 8989	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 7962	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 9996	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1164	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10058	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10099	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9180	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10029	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 8894	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7808	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 8891	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8877	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2178	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2161	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8147	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8876	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2178	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5829	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9178	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 9961	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2178	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2161	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3640	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2182	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3259	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2178	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ∪ cun 3100  {cpr 3561   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   ≤ cle 7896   − cmin 8029  2c2 8867  3c3 8868  4c4 8869  ℕ₀cn0 9073  ℤcz 9150  ...cfz 9894  ..^cfzo 10023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024

This theorem is referenced by: (None)