Theorem fzo0to42pr 10587

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9530	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9532	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9324	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9331	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9428	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8392	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10468	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1206	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10535	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10585	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9624	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10504	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9332	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8236	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9329	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8578	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9314	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2255	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6069	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9622	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10433	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2238	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3777	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2259	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3375	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2255	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  {cpr 3695   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   ≤ cle 8325   − cmin 8460  2c2 9305  3c3 9306  4c4 9307  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ...cfz 10361  ..^cfzo 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by: (None)