Theorem fzo0to42pr 10299

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9269	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9271	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9063	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9070	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9167	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8132	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10190	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1181	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10256	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10297	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9359	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10226	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9071	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9068	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9054	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8318	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9053	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2217	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5934	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9357	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10155	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2200	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3704	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2221	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3316	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2217	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {cpr 3624   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923  0cc0 7882  1c1 7883   + caddc 7885   ≤ cle 8065   − cmin 8200  2c2 9044  3c3 9045  4c4 9046  ℕ₀cn0 9252  ℤcz 9329  ...cfz 10086  ..^cfzo 10220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-fz 10087  df-fzo 10221

This theorem is referenced by: (None)