ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr GIF version

Theorem fzo0to42pr 9596
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 8660 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 8662 . . . 4 4 ∈ ℕ0
3 2re 8463 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 4re 8470 . . . . 5 4 ∈ ℝ
5 2lt4 8559 . . . . 5 2 < 4
63, 4, 5ltleii 7566 . . . 4 2 ≤ 4
7 elfz2nn0 9493 . . . 4 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1125 . . 3 2 ∈ (0...4)
9 fzosplit 9553 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
108, 9ax-mp 7 . 2 (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11 fzo0to2pr 9594 . . 3 (0..^2) = {0, 1}
12 4z 8750 . . . . 5 4 ∈ ℤ
13 fzoval 9524 . . . . 5 (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
1412, 13ax-mp 7 . . . 4 (2..^4) = (2...(4 − 1))
15 4cn 8471 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
16 ax-1cn 7417 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
17 3cn 8468 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
18 df-4 8454 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
1917, 16addcomi 7605 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = (1 + 3)
2018, 19eqtri 2108 . . . . . . . . 9 4 = (1 + 3)
2120eqcomi 2092 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2215, 16, 17, 21subaddrii 7750 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
23 df-3 8453 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
2422, 23eqtri 2108 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
2524oveq2i 5645 . . . . 5 (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26 2z 8748 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
27 fzpr 9458 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2826, 27ax-mp 7 . . . . 5 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
2925, 28eqtri 2108 . . . 4 (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
3023eqcomi 2092 . . . . 5 (2 + 1) = 3
3130preq2i 3518 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
3214, 29, 313eqtri 2112 . . 3 (2..^4) = {2, 3}
3311, 32uneq12i 3150 . 2 ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
3410, 33eqtri 2108 1 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  cun 2995  {cpr 3442   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332  cle 7502  cmin 7632  2c2 8444  3c3 8445  4c4 8446  0cn0 8643  cz 8720  ...cfz 9393  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator