Theorem fzo0to42pr 10349

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9312	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9314	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9106	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9113	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9210	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8175	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10234	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1182	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10301	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10347	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9402	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10270	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9114	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8018	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9111	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9097	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8361	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9096	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2226	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5955	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9400	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10199	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2226	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2209	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3714	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2230	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3325	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2226	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ∪ cun 3164  {cpr 3634   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   ≤ cle 8108   − cmin 8243  2c2 9087  3c3 9088  4c4 9089  ℕ₀cn0 9295  ℤcz 9372  ...cfz 10130  ..^cfzo 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by: (None)