Theorem fzo0to42pr 10466

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9419	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9421	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9213	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9220	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9317	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8282	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10347	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1205	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10414	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10464	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9509	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10383	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9221	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8125	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9218	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9204	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8468	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9203	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9507	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10312	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2235	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3752	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2256	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3359	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2252	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3198  {cpr 3670   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   ≤ cle 8215   − cmin 8350  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ...cfz 10243  ..^cfzo 10377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by: (None)