Theorem fzo0to42pr 10569

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9515	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9517	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9309	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9316	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9413	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8378	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10450	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1206	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10517	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10567	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9609	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10486	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9317	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8222	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9314	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9300	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8564	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9299	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2255	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6063	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9607	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10415	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2238	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3774	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2259	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3373	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2255	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211  {cpr 3692   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132   ≤ cle 8311   − cmin 8446  2c2 9290  3c3 9291  4c4 9292  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ...cfz 10345  ..^cfzo 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481

This theorem is referenced by: (None)