Theorem fzo0to42pr 9887

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 8895	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 8897	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 8697	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 8704	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 8794	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 7786	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 9782	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1146	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 9844	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 7	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 9885	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 8985	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 9815	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 8705	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7635	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 8702	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8688	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 7826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2135	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2119	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 7971	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8687	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2135	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5739	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 8983	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 9747	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2135	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2119	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3570	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2139	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3194	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2135	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ∪ cun 3035  {cpr 3494   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  0cc0 7544  1c1 7545   + caddc 7547   ≤ cle 7722   − cmin 7853  2c2 8678  3c3 8679  4c4 8680  ℕ₀cn0 8878  ℤcz 8955  ...cfz 9680  ..^cfzo 9809

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-fz 9681  df-fzo 9810

This theorem is referenced by: (None)