Theorem fzo0to42pr 10386

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9347	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9349	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9141	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9148	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9245	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8210	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10269	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1182	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10336	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10384	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9437	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10305	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9149	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8053	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9146	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2228	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2211	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8396	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9131	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2228	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5978	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9435	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10234	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2228	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2211	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3724	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2232	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3333	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2228	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ∪ cun 3172  {cpr 3644   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   ≤ cle 8143   − cmin 8278  2c2 9122  3c3 9123  4c4 9124  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ...cfz 10165  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by: (None)