Theorem fzo0to42pr 10290

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9260	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9262	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9054	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9061	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9158	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8124	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10181	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1181	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10247	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10288	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10217	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9062	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7967	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9059	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9045	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2197	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8310	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9044	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2214	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5930	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9348	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10146	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2197	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3700	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2218	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3312	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2214	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3152  {cpr 3620   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   ≤ cle 8057   − cmin 8192  2c2 9035  3c3 9036  4c4 9037  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  ...cfz 10077  ..^cfzo 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by: (None)