Theorem fzo0to42pr 10239

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9212	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9214	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9008	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9015	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9111	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8079	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10131	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1181	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10196	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10237	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9302	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10167	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9016	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7923	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9013	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8999	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8265	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8998	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2210	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5902	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9300	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10096	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2210	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2193	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3688	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2214	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3302	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2210	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ∪ cun 3142  {cpr 3608   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ≤ cle 8012   − cmin 8147  2c2 8989  3c3 8990  4c4 8991  ℕ₀cn0 9195  ℤcz 9272  ...cfz 10027  ..^cfzo 10161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-fzo 10162

This theorem is referenced by: (None)