ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr GIF version

Theorem fzo0to42pr 10223
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 9196 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 9198 . . . 4 4 ∈ ℕ0
3 2re 8992 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 4re 8999 . . . . 5 4 ∈ ℝ
5 2lt4 9095 . . . . 5 2 < 4
63, 4, 5ltleii 8063 . . . 4 2 ≤ 4
7 elfz2nn0 10115 . . . 4 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1179 . . 3 2 ∈ (0...4)
9 fzosplit 10180 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
108, 9ax-mp 5 . 2 (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11 fzo0to2pr 10221 . . 3 (0..^2) = {0, 1}
12 4z 9286 . . . . 5 4 ∈ ℤ
13 fzoval 10151 . . . . 5 (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (2..^4) = (2...(4 − 1))
15 4cn 9000 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
16 ax-1cn 7907 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
17 3cn 8997 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
18 df-4 8983 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
1917, 16addcomi 8104 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = (1 + 3)
2018, 19eqtri 2198 . . . . . . . . 9 4 = (1 + 3)
2120eqcomi 2181 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2215, 16, 17, 21subaddrii 8249 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
23 df-3 8982 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
2422, 23eqtri 2198 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
2524oveq2i 5889 . . . . 5 (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26 2z 9284 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
27 fzpr 10080 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
2925, 28eqtri 2198 . . . 4 (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
3023eqcomi 2181 . . . . 5 (2 + 1) = 3
3130preq2i 3675 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
3214, 29, 313eqtri 2202 . . 3 (2..^4) = {2, 3}
3311, 32uneq12i 3289 . 2 ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
3410, 33eqtri 2198 1 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3129  {cpr 3595   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817  cle 7996  cmin 8131  2c2 8973  3c3 8974  4c4 8975  0cn0 9179  cz 9256  ...cfz 10011  ..^cfzo 10145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-fzo 10146
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator