Theorem fzo0to42pr 10223

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9196	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9198	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 8992	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 8999	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9095	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8063	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10115	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1179	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10180	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10221	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9286	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10151	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9000	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7907	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 8997	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8983	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2181	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8249	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8982	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2198	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5889	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9284	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10080	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2181	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3675	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2202	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3289	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2198	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129  {cpr 3595   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ≤ cle 7996   − cmin 8131  2c2 8973  3c3 8974  4c4 8975  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256  ...cfz 10011  ..^cfzo 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-fzo 10146

This theorem is referenced by: (None)