Theorem fzo0to42pr 10616

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9559	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9561	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9353	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9360	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9457	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8418	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10497	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1210	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10564	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10614	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9653	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10533	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9361	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 8262	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9358	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 9344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8605	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 9343	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 6086	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9651	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10462	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2242	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3788	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2263	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3381	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2259	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3706   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   ≤ cle 8351   − cmin 8487  2c2 9334  3c3 9335  4c4 9336  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ...cfz 10390  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by: (None)