Theorem fzo0to42pr 10233

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9206	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9208	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 9002	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 9009	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9105	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8073	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10125	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1180	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10190	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10231	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9296	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10161	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 9010	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7917	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 9007	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8993	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2191	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8259	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8992	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2208	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5899	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9294	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10090	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2208	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2191	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3685	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2212	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3299	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2208	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ∪ cun 3139  {cpr 3605   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ≤ cle 8006   − cmin 8141  2c2 8983  3c3 8984  4c4 8985  ℕ₀cn0 9189  ℤcz 9266  ...cfz 10021  ..^cfzo 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156

This theorem is referenced by: (None)