Theorem fzo0to42pr 10176

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9152	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9154	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 8948	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 8955	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 9051	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8022	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 10068	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1174	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 10133	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 10174	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9242	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 10104	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 8956	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7867	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 8953	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8939	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 8063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2191	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2174	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8208	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8938	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2191	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5864	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9240	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 10033	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2174	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3664	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2195	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3279	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2191	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  {cpr 3584   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   ≤ cle 7955   − cmin 8090  2c2 8929  3c3 8930  4c4 8931  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ...cfz 9965  ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by: (None)