Theorem gsumgfsum1 16849

Description: On an integer range starting at one, Σ_g and Σ_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumgfsum1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumgfsum1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsumgfsum1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Proof of Theorem gsumgfsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumgfsum1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		gsumgfsum1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
4		1zzd 9600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		gsumgfsum1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
8		f1oi 5653	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)
9		hashfz1 11141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
11	10	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(1...𝑁))) = (1...𝑁))
12	11	f1oeq2d 5609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁) ↔ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)))
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁))
14	1, 2, 3, 7, 13	gfsumval 16848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))))
15		fcoi1 5546	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
16	3, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
17	16	oveq2d 6065	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))) = (𝐺 Σg 𝐹))
18	14, 17	eqtr2d 2266	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   I cid 4408   ↾ cres 4750   ∘ ccom 4752  ⟶wf 5347  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  1c1 8124  ℕ₀cn0 9492  ...cfz 10338  ♯chash 11133  Basecbs 13201   Σ_g cgsu 13459  CMndccmn 13990   Σ_gf cgfsu 16846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-inn 9234  df-2 9292  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-ihash 11134  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-igsum 13461  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-cmn 13992  df-gfsum 16847

This theorem is referenced by:  gfsum0  16850