Theorem gsumgfsum1 16744

Description: On an integer range starting at one, Σ_g and Σ_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumgfsum1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumgfsum1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsumgfsum1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Proof of Theorem gsumgfsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumgfsum1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		gsumgfsum1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
4		1zzd 9508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		gsumgfsum1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
8		f1oi 5623	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)
9		hashfz1 11048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
11	10	oveq2d 6036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(1...𝑁))) = (1...𝑁))
12	11	f1oeq2d 5579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁) ↔ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)))
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁))
14	1, 2, 3, 7, 13	gfsumval 16743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))))
15		fcoi1 5516	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
16	3, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
17	16	oveq2d 6036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))) = (𝐺 Σg 𝐹))
18	14, 17	eqtr2d 2264	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   I cid 4384   ↾ cres 4726   ∘ ccom 4728  ⟶wf 5321  –1-1-onto→wf1o 5324  ‘cfv 5325  (class class class)co 6020  1c1 8035  ℕ₀cn0 9404  ...cfz 10245  ♯chash 11040  Basecbs 13102   Σ_g cgsu 13360  CMndccmn 13891   Σ_gf cgfsu 16741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-frec 6559  df-1o 6584  df-er 6704  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-inn 9146  df-2 9204  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-seqfrec 10713  df-ihash 11041  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-plusg 13193  df-0g 13361  df-igsum 13362  df-mgm 13459  df-sgrp 13505  df-mnd 13520  df-cmn 13893  df-gfsum 16742

This theorem is referenced by:  gfsum0  16745