Theorem gsumgfsum1 16912

Description: On an integer range starting at one, Σ_g and Σ_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumgfsum1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumgfsum1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsumgfsum1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Proof of Theorem gsumgfsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumgfsum1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		gsumgfsum1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
4		1zzd 9609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		gsumgfsum1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
8		f1oi 5656	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)
9		hashfz1 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
11	10	oveq2d 6068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(1...𝑁))) = (1...𝑁))
12	11	f1oeq2d 5612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁) ↔ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)))
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁))
14	1, 2, 3, 7, 13	gfsumval 16911	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))))
15		fcoi1 5549	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
16	3, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
17	16	oveq2d 6068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))) = (𝐺 Σg 𝐹))
18	14, 17	eqtr2d 2268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   I cid 4411   ↾ cres 4753   ∘ ccom 4755  ⟶wf 5350  –1-1-onto→wf1o 5353  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1c1 8133  ℕ₀cn0 9501  ...cfz 10348  ♯chash 11146  Basecbs 13233   Σ_g cgsu 13491  CMndccmn 14022   Σ_gf cgfsu 16909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-inn 9243  df-2 9301  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-ihash 11147  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-igsum 13493  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-cmn 14024  df-gfsum 16910

This theorem is referenced by:  gfsum0  16913