Theorem gfsumval 16630

Description: Value of the finite group sum over an unordered finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumval.b	|- B = ( Base ` W )
gfsumval.w	|- ( ph -> W e. CMnd )
gfsumval.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gfsumval.fi	|- ( ph -> A e. Fin )
gfsumval.g	|- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
gfsumval	|- ( ph -> ( W gfsumgf F ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) )

Proof of Theorem gfsumval

Dummy variables p q r s f g w x h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumval.w	. . 3 |- ( ph -> W e. CMnd )
2		gfsumval.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> B )
3		gfsumval.fi	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
4	2, 3	fexd 5879	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
5		fngsum 13464	. . . . . . . 8 |- gsumg Fn ( _V X. _V )
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> gsumg Fn ( _V X. _V ) )
7	1	elexd 2814	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. _V )
8		gfsumval.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
9		f1of 5580	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
11		1zzd 9499	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
12		hashcl 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
13	3, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9593	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
15	11, 14	fzfigd 10686	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) e. Fin )
16	10, 15	fexd 5879	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. _V )
17		coexg 5279	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
18	4, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F o. G ) e. _V )
19		fnovex 6046	. . . . . . 7 |- ( ( gsumg Fn ( _V X. _V ) /\ W e. _V /\ ( F o. G ) e. _V ) -> ( W gsumg ( F o. G ) ) e. _V )
20	6, 7, 18, 19	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W gsumg ( F o. G ) ) e. _V )
21	2	fdmd 5486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F = A )
22	21, 3	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom F e. Fin )
23		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = G )
24	21	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (♯ ` dom F ) = (♯ ` A ) )
25	24	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
26	23, 25, 21	f1oeq123d 5574	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
27	8, 26	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
28		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) )
29	27, 28	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) ) )
30		f1oeq1 5568	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F ) )
31		coeq2 4886	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> ( F o. g ) = ( F o. G ) )
32	31	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( W gsumg ( F o. g ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) )
33	32	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) <-> ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) ) )
34	30, 33	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) <-> ( G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) ) ) )
35	16, 29, 34	elabd 2949	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) )
36	22, 35	jca 306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
37		eqeq1 2236	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( W gsumg ( F o. G ) ) -> ( x = ( W gsumg ( F o. g ) ) <-> ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) )
38	37	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = ( W gsumg ( F o. G ) ) -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
39	38	exbidv 1871	. . . . . . 7 |- ( x = ( W gsumg ( F o. G ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
40	39	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( x = ( W gsumg ( F o. G ) ) -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) <-> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) )
41	20, 36, 40	elabd 2949	. . . . 5 |- ( ph -> E. x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
42		anandi 592	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F e. Fin /\ ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) <-> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) )
43		f1oeq1 5568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = h -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F ) )
44		coeq2 4886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( F o. g ) = ( F o. h ) )
45	44	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = h -> ( W gsumg ( F o. g ) ) = ( W gsumg ( F o. h ) ) )
46	45	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = h -> ( y = ( W gsumg ( F o. g ) ) <-> y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) )
47	43, 46	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = h -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) <-> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) )
48	47	cbvexv 1965	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) <-> E. h ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) )
49	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> W e. CMnd )
50	49	cmnmndd 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> W e. Mnd )
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> W e. Mnd )
52		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> p e. B )
53		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> q e. B )
54		gfsumval.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- B = ( Base ` W )
55		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
56	54, 55	mndcl 13499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( W e. Mnd /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( +g ` W ) q ) e. B )
57	51, 52, 53, 56	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p ( +g ` W ) q ) e. B )
58	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> W e. CMnd )
59	54, 55	cmncom 13882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( W e. CMnd /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( +g ` W ) q ) = ( q ( +g ` W ) p ) )
60	58, 52, 53, 59	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p ( +g ` W ) q ) = ( q ( +g ` W ) p ) )
61	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B /\ r e. B ) ) -> W e. Mnd )
62	54, 55	mndass 13500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( W e. Mnd /\ ( p e. B /\ q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( p ( +g ` W ) q ) ( +g ` W ) r ) = ( p ( +g ` W ) ( q ( +g ` W ) r ) ) )
63	61, 62	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( p ( +g ` W ) q ) ( +g ` W ) r ) = ( p ( +g ` W ) ( q ( +g ` W ) r ) ) )
64		elnnuz 9786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( (♯ ` dom F ) e. NN <-> (♯ ` dom F ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
65	64	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( (♯ ` dom F ) e. NN -> (♯ ` dom F ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66	65	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> (♯ ` dom F ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
67		ssidd 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> B C_ B )
68	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> W e. CMnd )
69		plusgslid 13188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
70	69	slotex 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( W e. CMnd -> ( +g ` W ) e. _V )
71	68, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( +g ` W ) e. _V )
72		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
73	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> dom F = A )
74	73	f1oeq3d 5577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A ) )
75	72, 74	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
77		f1ocnv 5593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A -> `' g : A -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> `' g : A -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
79		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
80	73	f1oeq3d 5577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A ) )
81	79, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
82	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
83		f1oco 5603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( `' g : A -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) /\ h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' g o. h ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
84	78, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( `' g o. h ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
85	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> F : A --> B )
86		f1of 5580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
87	72, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
88	73	feq3d 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) )
89	87, 88	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
90	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
91		fco 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F : A --> B /\ g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) -> ( F o. g ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
92	85, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( F o. g ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
93		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
94	92, 93	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` p ) e. B )
95		f1of 5580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
96	79, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
97	73	feq3d 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) )
98	96, 97	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
100		fvco3 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( `' g o. h ) ` s ) = ( `' g ` ( h ` s ) ) )
101	99, 100	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( `' g o. h ) ` s ) = ( `' g ` ( h ` s ) ) )
102	101	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( g ` ( `' g ` ( h ` s ) ) ) )
103	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
105	99, 104	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( h ` s ) e. A )
106		f1ocnvfv2 5914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A /\ ( h ` s ) e. A ) -> ( g ` ( `' g ` ( h ` s ) ) ) = ( h ` s ) )
107	103, 105, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( g ` ( `' g ` ( h ` s ) ) ) = ( h ` s ) )
108	102, 107	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( h ` s ) )
109	108	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( F ` ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) ) = ( F ` ( h ` s ) ) )
110	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
111		f1ocnv 5593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F -> `' g : dom F -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
112		f1of 5580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( `' g : dom F -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -> `' g : dom F --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
113	72, 111, 112	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> `' g : dom F --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
114	73	feq2d 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( `' g : dom F --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) <-> `' g : A --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) )
115	113, 114	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> `' g : A --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
116	115	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> `' g : A --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
117	116, 105	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( `' g ` ( h ` s ) ) e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
118	101, 117	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( `' g o. h ) ` s ) e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
119		fvco3 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A /\ ( ( `' g o. h ) ` s ) e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) ) )
120	110, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) ) )
121		fvco3 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. h ) ` s ) = ( F ` ( h ` s ) ) )
122	99, 121	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. h ) ` s ) = ( F ` ( h ` s ) ) )
123	109, 120, 122	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. h ) ` s ) = ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) )
124	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> F e. _V )
125		vex 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- g e. _V
126		coexg 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. _V /\ g e. _V ) -> ( F o. g ) e. _V )
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( F o. g ) e. _V )
128	127	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. g ) e. _V )
129		vex 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- h e. _V
130		coexg 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. _V /\ h e. _V ) -> ( F o. h ) e. _V )
131	124, 129, 130	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( F o. h ) e. _V )
132	131	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. h ) e. _V )
133	57, 60, 63, 66, 67, 71, 84, 94, 123, 128, 132	seqf1og 10776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. h ) ) ` (♯ ` dom F ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. g ) ) ` (♯ ` dom F ) ) )
134	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> F : A --> B )
135	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
136		fco 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F : A --> B /\ h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) -> ( F o. h ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
137	134, 135, 136	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. h ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
138	54, 55, 68, 66, 137	gsumval2 13473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( W gsumg ( F o. h ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. h ) ) ` (♯ ` dom F ) ) )
139		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
140	139, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
141	134	fdmd 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> dom F = A )
142	141	feq3d 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) )
143	140, 142	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
144	134, 143, 91	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. g ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
145	54, 55, 68, 66, 144	gsumval2 13473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( W gsumg ( F o. g ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. g ) ) ` (♯ ` dom F ) ) )
146	133, 138, 145	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( W gsumg ( F o. h ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) )
147		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) -> y = ( W gsumg ( F o. h ) ) )
148	147	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> y = ( W gsumg ( F o. h ) ) )
149		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> x = ( W gsumg ( F o. g ) ) )
150	146, 148, 149	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> x = y )
151		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
152	151	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
153	152, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
154		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> (♯ ` dom F ) = 0 )
155		fihasheq0 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( dom F e. Fin -> ( (♯ ` dom F ) = 0 <-> dom F = (/) ) )
156	22, 155	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> ( (♯ ` dom F ) = 0 <-> dom F = (/) ) )
157	156	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( (♯ ` dom F ) = 0 <-> dom F = (/) ) )
158	154, 157	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> dom F = (/) )
159	158	feq3d 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) ) )
160	153, 159	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) )
161		f00 5525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) <-> ( h = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
162	160, 161	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( h = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
163	162	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h = (/) )
164	163	coeq2d 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. h ) = ( F o. (/) ) )
165		co02 5248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F o. (/) ) = (/)
166	164, 165	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. h ) = (/) )
167	166	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gsumg ( F o. h ) ) = ( W gsumg (/) ) )
168		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
169	168	gsum0g 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( W e. CMnd -> ( W gsumg (/) ) = ( 0g ` W ) )
170	1, 169	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( W gsumg (/) ) = ( 0g ` W ) )
171	170	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gsumg (/) ) = ( 0g ` W ) )
172	167, 171	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gsumg ( F o. h ) ) = ( 0g ` W ) )
173	147	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> y = ( W gsumg ( F o. h ) ) )
174		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> x = ( W gsumg ( F o. g ) ) )
175		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
176	175, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
177	158	feq3d 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) ) )
178	176, 177	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) )
179		f00 5525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) <-> ( g = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
180	178, 179	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( g = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
181	180	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g = (/) )
182	181	coeq2d 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. g ) = ( F o. (/) ) )
183	182, 165	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. g ) = (/) )
184	183	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gsumg ( F o. g ) ) = ( W gsumg (/) ) )
185	174, 184, 171	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> x = ( 0g ` W ) )
186	172, 173, 185	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> x = y )
187	24, 13	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> (♯ ` dom F ) e. NN0 )
188		elnn0 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (♯ ` dom F ) e. NN0 <-> ( (♯ ` dom F ) e. NN \/ (♯ ` dom F ) = 0 ) )
189	187, 188	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( (♯ ` dom F ) e. NN \/ (♯ ` dom F ) = 0 ) )
190	189	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( (♯ ` dom F ) e. NN \/ (♯ ` dom F ) = 0 ) )
191	150, 186, 190	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> x = y )
192	191	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) -> x = y ) )
193	192	exlimdv 1865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) -> x = y ) )
194	193	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) -> x = y ) ) )
195	194	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) -> x = y ) ) )
196	195	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ dom F e. Fin ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) -> x = y ) ) )
197	196	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) -> x = y ) )
198	197	exlimdv 1865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( E. h ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. h ) ) ) -> x = y ) )
199	48, 198	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) -> x = y ) )
200	199	impr 379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y )
201	200	anasss 399	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( dom F e. Fin /\ ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) ) -> x = y )
202	42, 201	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) ) -> x = y )
203	202	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y ) )
204	203	alrimivv 1921	. . . . 5 |- ( ph -> A. x A. y ( ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y ) )
205		eqeq1 2236	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = ( W gsumg ( F o. g ) ) <-> y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) )
206	205	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
207	206	exbidv 1871	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
208	207	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) <-> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) )
209	208	eu4 2140	. . . . 5 |- ( E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) <-> ( E. x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ A. x A. y ( ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y ) ) )
210	41, 204, 209	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
211		euiotaex 5301	. . . 4 |- ( E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) -> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) e. _V )
212	210, 211	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) e. _V )
213		oveq1 6020	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( w gsumg ( f o. g ) ) = ( W gsumg ( f o. g ) ) )
214	213	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( x = ( w gsumg ( f o. g ) ) <-> x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) )
215	214	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gsumg ( f o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) ) )
216	215	exbidv 1871	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gsumg ( f o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) ) )
217	216	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = W -> ( ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gsumg ( f o. g ) ) ) ) <-> ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) ) ) )
218	217	iotabidv 5307	. . . 4 |- ( w = W -> ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gsumg ( f o. g ) ) ) ) ) = ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) ) ) )
219		dmeq 4929	. . . . . . 7 |- ( f = F -> dom f = dom F )
220	219	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( dom f e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
221		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> g = g )
222	219	fveq2d 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> (♯ ` dom f ) = (♯ ` dom F ) )
223	222	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) = ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
224	221, 223, 219	f1oeq123d 5574	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F ) )
225		coeq1 4885	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f o. g ) = ( F o. g ) )
226	225	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( W gsumg ( f o. g ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) )
227	226	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( x = ( W gsumg ( f o. g ) ) <-> x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) )
228	224, 227	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
229	228	exbidv 1871	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) )
230	220, 229	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) ) <-> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) )
231	230	iotabidv 5307	. . . 4 |- ( f = F -> ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gsumg ( f o. g ) ) ) ) ) = ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) )
232		df-gfsum 16629	. . . 4 |- gfsumgf = ( w e. CMnd , f e. _V |-> ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gsumg ( f o. g ) ) ) ) ) )
233	218, 231, 232	ovmpog 6151	. . 3 |- ( ( W e. CMnd /\ F e. _V /\ ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( W gfsumgf F ) = ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) )
234	1, 4, 212, 233	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( W gfsumgf F ) = ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) )
235	40	iota2 5314	. . . 4 |- ( ( ( W gsumg ( F o. G ) ) e. _V /\ E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) <-> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) ) )
236	20, 210, 235	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gsumg ( F o. G ) ) = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) <-> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) ) )
237	36, 236	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gsumg ( F o. g ) ) ) ) ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) )
238	234, 237	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( W gfsumgf F ) = ( W gsumg ( F o. G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   E!weu 2077   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   (/)c0 3492   X. cxp 4721   `'ccnv 4722   dom cdm 4723   o. ccom 4727   iotacio 5282   Fn wfn 5319   -->wf 5320   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   0cc0 8025   1c1 8026   NNcn 9136   NN0cn0 9395   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236   seqcseq 10702  ♯chash 11030   Basecbs 13075   +g cplusg 13153   0gc0g 13332   gsum_g cgsu 13333   Mndcmnd 13492  CMndccmn 13864   gfsum_gf cgfsu 16628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-ihash 11031  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-0g 13334  df-igsum 13335  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-cmn 13866  df-gfsum 16629

This theorem is referenced by:  gsumgfsum1  16631  gsumgfsum  16634