Theorem hashfzo 11087

Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0 10405	. . . . . 6 ⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅
2	1	fveq2i 5642	. . . . 5 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (♯‘∅)
3		hash0 11059	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
4	2, 3	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = 0
5		eluzel2 9760	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9603	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	subidd 8478	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
8	4, 7	eqtr4id 2283	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
9		oveq2 6026	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
10	9	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴..^𝐴)))
11		oveq1 6025	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
12	10, 11	eqeq12d 2246	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴)))
13	8, 12	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
14		eluzelz 9765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15		fzoval 10383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
17	16	fveq2d 5643	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19		hashfz 11086	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
20	14	zcnd 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		1cnd 8195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21, 6	sub32d 8522	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) − 1))
23	22	oveq1d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1))
24	20, 6	subcld 8490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
25		ax-1cn 8125	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		npcan 8388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
27	24, 25, 26	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
28	23, 27	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
29	19, 28	sylan9eqr 2286	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵 − 𝐴))
30	18, 29	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
31	30	ex 115	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
32		uzm1 9787	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
33	13, 31, 32	mpjaod 725	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   − cmin 8350  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039

This theorem is referenced by:  hashfzo0  11088