ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfzo GIF version

Theorem hashfzo 10783
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 fzo0 10151 . . . . . 6 (𝐴..^𝐴) = ∅
21fveq2i 5514 . . . . 5 (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (♯‘∅)
3 hash0 10757 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
42, 3eqtri 2198 . . . 4 (♯‘(𝐴..^𝐴)) = 0
5 eluzel2 9519 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
65zcnd 9362 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
76subidd 8243 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴𝐴) = 0)
84, 7eqtr4id 2229 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴𝐴))
9 oveq2 5877 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
109fveq2d 5515 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴..^𝐴)))
11 oveq1 5876 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝐴) = (𝐴𝐴))
1210, 11eqeq12d 2192 . . 3 (𝐵 = 𝐴 → ((♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴𝐴)))
138, 12syl5ibrcom 157 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴)))
14 eluzelz 9523 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15 fzoval 10131 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
1614, 15syl 14 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
1716fveq2d 5515 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
1817adantr 276 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19 hashfz 10782 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
2014zcnd 9362 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 1cnd 7961 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
2220, 21, 6sub32d 8287 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵𝐴) − 1))
2322oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵𝐴) − 1) + 1))
2420, 6subcld 8255 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
25 ax-1cn 7892 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
26 npcan 8153 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵𝐴) − 1) + 1) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 26sylancl 413 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵𝐴) − 1) + 1) = (𝐵𝐴))
2823, 27eqtrd 2210 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵𝐴))
2919, 28sylan9eqr 2232 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵𝐴))
3018, 29eqtrd 2210 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))
3130ex 115 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴)))
32 uzm1 9544 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)))
3313, 31, 32mpjaod 718 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3422  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7797  0cc0 7799  1c1 7800   + caddc 7802  cmin 8115  cz 9239  cuz 9514  ...cfz 9992  ..^cfzo 10125  chash 10736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-fz 9993  df-fzo 10126  df-ihash 10737
This theorem is referenced by:  hashfzo0  10784
  Copyright terms: Public domain W3C validator