Theorem hashfzo 10724

Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0 10093	. . . . . 6 ⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅
2	1	fveq2i 5483	. . . . 5 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (♯‘∅)
3		hash0 10699	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
4	2, 3	eqtri 2185	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = 0
5		eluzel2 9462	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9305	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	subidd 8188	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
8	4, 7	eqtr4id 2216	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
9		oveq2 5844	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
10	9	fveq2d 5484	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴..^𝐴)))
11		oveq1 5843	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
12	10, 11	eqeq12d 2179	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴)))
13	8, 12	syl5ibrcom 156	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
14		eluzelz 9466	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15		fzoval 10073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
17	16	fveq2d 5484	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
18	17	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19		hashfz 10723	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
20	14	zcnd 9305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		1cnd 7906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21, 6	sub32d 8232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) − 1))
23	22	oveq1d 5851	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1))
24	20, 6	subcld 8200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
25		ax-1cn 7837	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		npcan 8098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
27	24, 25, 26	sylancl 410	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
28	23, 27	eqtrd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
29	19, 28	sylan9eqr 2219	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵 − 𝐴))
30	18, 29	eqtrd 2197	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
31	30	ex 114	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
32		uzm1 9487	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
33	13, 31, 32	mpjaod 708	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∅c0 3404  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  0cc0 7744  1c1 7745   + caddc 7747   − cmin 8060  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457  ...cfz 9935  ..^cfzo 10067  ♯chash 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-er 6492  df-en 6698  df-dom 6699  df-fin 6700  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-ihash 10678

This theorem is referenced by:  hashfzo0  10725