Theorem icodiamlt 11410

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8100	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 10041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
3		elico2 10041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)))
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
5	4	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
6	1, 5	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
7		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubdi2d 8381	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
12	9, 7	resubcld 8435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
13		simprl1 1044	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13, 7	resubcld 8435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		simprr1 1047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 8435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
17		simprl2 1045	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 8616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐵))
19		simprr3 1049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 < 𝐵)
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 8613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 8179	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
22	11, 21	eqbrtrd 4065	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷))
23	7, 15	resubcld 8435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
24	7, 9	resubcld 8435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25		simprl3 1046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 8612	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐷))
27		simprr2 1048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 8617	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 8478	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))
30	16, 24	absltd 11404	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → ((abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴) ↔ (-(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))))
31	22, 29, 30	mpbir2and 946	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))
32	31	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
33	6, 32	syld 45	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
34	33	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℝcr 7906  ℝ^*cxr 8088   < clt 8089   ≤ cle 8090   − cmin 8225  -cneg 8226  [,)cico 9994  abscabs 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-rp 9758  df-ico 9998  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229

This theorem is referenced by: (None)