Theorem iprodap0 11609

Description: Nonzero series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprodn0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zprodap0.3	|- ( ph -> X # 0 )
zprodn0.4	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
iprodn0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
iprodn0.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
iprodap0	|- ( ph -> prod_ k e. Z B = X )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   X( k)

Proof of Theorem iprodap0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprodn0.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zprodap0.3	. 2 |- ( ph -> X # 0 )
4		zprodn0.4	. 2 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
5		orc 713	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
6		df-dc 836	. . . . 5 |- (DECID j e. Z <-> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( j e. Z -> DECID j e. Z )
8	7	rgen 2543	. . 3 |- A. j e. Z DECID j e. Z
9	8	a1i 9	. 2 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. Z )
10		ssidd 3191	. 2 |- ( ph -> Z C_ Z )
11		iprodn0.5	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
12		iftrue 3554	. . . 4 |- ( k e. Z -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
13	12	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
14	11, 13	eqtr4d 2225	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Z , B , 1 ) )
15		iprodn0.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
16	1, 2, 3, 4, 9, 10, 14, 15	zprodap0 11608	1 |- ( ph -> prod_ k e. Z B = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   ifcif 3549   class class class wbr 4018   ` cfv 5231   CCcc 7828   0cc0 7830   1c1 7831   x. cmul 7835   # cap 8557   ZZcz 9272   ZZ>=cuz 9547   seqcseq 10464   ~~> cli 11305   prod_cprod 11577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-proddc 11578

This theorem is referenced by: (None)