Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iprodap0 GIF version

Theorem iprodap0 11461
 Description: Nonzero series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprodn0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
zprodn0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
zprodap0.3 (𝜑𝑋 # 0)
zprodn0.4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
iprodn0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
iprodn0.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iprodap0 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐵 = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem iprodap0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zprodn0.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 zprodn0.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 zprodap0.3 . 2 (𝜑𝑋 # 0)
4 zprodn0.4 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5 orc 702 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (𝑗𝑍 ∨ ¬ 𝑗𝑍))
6 df-dc 821 . . . . 5 (DECID 𝑗𝑍 ↔ (𝑗𝑍 ∨ ¬ 𝑗𝑍))
75, 6sylibr 133 . . . 4 (𝑗𝑍DECID 𝑗𝑍)
87rgen 2510 . . 3 𝑗𝑍 DECID 𝑗𝑍
98a1i 9 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 DECID 𝑗𝑍)
10 ssidd 3149 . 2 (𝜑𝑍𝑍)
11 iprodn0.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
12 iftrue 3510 . . . 4 (𝑘𝑍 → if(𝑘𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
1312adantl 275 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
1411, 13eqtr4d 2193 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝑍, 𝐵, 1))
15 iprodn0.6 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
161, 2, 3, 4, 9, 10, 14, 15zprodap0 11460 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐵 = 𝑋)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ifcif 3505   class class class wbr 3965  ‘cfv 5167  ℂcc 7713  0cc0 7715  1c1 7716   · cmul 7720   # cap 8439  ℤcz 9150  ℤ≥cuz 9422  seqcseq 10326   ⇝ cli 11157  ∏cprod 11429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-proddc 11430 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator