Theorem iprodap0 11461

Description: Nonzero series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprodn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zprodap0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
zprodn0.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
iprodn0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
iprodn0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodap0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem iprodap0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprodn0.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zprodap0.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
4		zprodn0.4	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5		orc 702	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
6		df-dc 821	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝑍 ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
7	5, 6	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → DECID 𝑗 ∈ 𝑍)
8	7	rgen 2510	. . 3 ⊢ ∀𝑗 ∈ 𝑍 DECID 𝑗 ∈ 𝑍
9	8	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 DECID 𝑗 ∈ 𝑍)
10		ssidd 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑍)
11		iprodn0.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
12		iftrue 3510	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
13	12	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
14	11, 13	eqtr4d 2193	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1))
15		iprodn0.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 2, 3, 4, 9, 10, 14, 15	zprodap0 11460	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ifcif 3505   class class class wbr 3965  ‘cfv 5167  ℂcc 7713  0cc0 7715  1c1 7716   · cmul 7720   # cap 8439  ℤcz 9150  ℤ_≥cuz 9422  seqcseq 10326   ⇝ cli 11157  ∏cprod 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-proddc 11430

This theorem is referenced by: (None)