ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserle Unicode version

Theorem iserle 11331
Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iserle.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iserle.4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
iserle.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  B )
iserle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
iserle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
iserle.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
iserle  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, M    k, G    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iserle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iserle.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iserle.4 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
4 iserle.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  B )
5 iserle.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 10458 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
76ffvelcdmda 5647 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
8 iserle.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
91, 2, 8serfre 10458 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
109ffvelcdmda 5647 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
11 simpr 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1211, 1eleqtrdi 2270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 simpll 527 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ph )
141eleq2i 2244 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514biimpri 133 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
1615adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  Z )
1713, 16, 5syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1813, 16, 8syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
19 iserle.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
2013, 16, 19syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k )
)
2112, 17, 18, 20ser3le 10501 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq M (  +  ,  G ) `  j
) )
221, 2, 3, 4, 7, 10, 21climle 11323 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212   RRcr 7798    + caddc 7802    <_ cle 7980   ZZcz 9239   ZZ>=cuz 9514    seqcseq 10428    ~~> cli 11267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-rp 9638  df-fz 9993  df-fzo 10126  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-clim 11268
This theorem is referenced by:  iserge0  11332  isumle  11484  ege2le3  11660
  Copyright terms: Public domain W3C validator