ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserle Unicode version

Theorem iserle 11051
Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iserle.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iserle.4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
iserle.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  B )
iserle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
iserle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
iserle.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
iserle  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, M    k, G    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iserle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iserle.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iserle.4 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
4 iserle.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  B )
5 iserle.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 10188 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
76ffvelrnda 5521 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
8 iserle.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
91, 2, 8serfre 10188 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
109ffvelrnda 5521 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
11 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1211, 1syl6eleq 2208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 simpll 501 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ph )
141eleq2i 2182 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514biimpri 132 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
1615adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  Z )
1713, 16, 5syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1813, 16, 8syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
19 iserle.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
2013, 16, 19syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k )
)
2112, 17, 18, 20ser3le 10231 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq M (  +  ,  G ) `  j
) )
221, 2, 3, 4, 7, 10, 21climle 11043 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091   RRcr 7583    + caddc 7587    <_ cle 7765   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275    seqcseq 10158    ~~> cli 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988
This theorem is referenced by:  iserge0  11052  isumle  11204  ege2le3  11276
  Copyright terms: Public domain W3C validator