Theorem iserle 11868

Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iserle.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
iserle.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
iserle.5	|- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
iserle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
iserle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
iserle.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
iserle	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, M   k, G   ph, k   k, Z

Proof of Theorem iserle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		iserle.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iserle.4	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
4		iserle.5	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
5		iserle.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
6	1, 2, 5	serfre 10718	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
7	6	ffvelcdmda 5772	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) e. RR )
8		iserle.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
9	1, 2, 8	serfre 10718	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) : Z --> RR )
10	9	ffvelcdmda 5772	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` j ) e. RR )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
12	11, 1	eleqtrdi 2322	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
13		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ph )
14	1	eleq2i 2296	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
15	14	biimpri 133	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. Z )
17	13, 16, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
18	13, 16, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
19		iserle.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
20	13, 16, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
21	12, 17, 18, 20	ser3le 10771	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) <_ ( seq M ( + , G ) ` j ) )
22	1, 2, 3, 4, 7, 10, 21	climle 11860	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   RRcr 8009   + caddc 8013   <_ cle 8193   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   seqcseq 10681   ~~> cli 11804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805

This theorem is referenced by:  iserge0  11869  isumle  12021  ege2le3  12197