Theorem iserle 11738

Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iserle.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
iserle.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
iserle.5	|- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
iserle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
iserle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
iserle.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
iserle	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, M   k, G   ph, k   k, Z

Proof of Theorem iserle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		iserle.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iserle.4	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
4		iserle.5	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
5		iserle.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
6	1, 2, 5	serfre 10661	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
7	6	ffvelcdmda 5733	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) e. RR )
8		iserle.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
9	1, 2, 8	serfre 10661	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) : Z --> RR )
10	9	ffvelcdmda 5733	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` j ) e. RR )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
12	11, 1	eleqtrdi 2299	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
13		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ph )
14	1	eleq2i 2273	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
15	14	biimpri 133	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. Z )
17	13, 16, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
18	13, 16, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
19		iserle.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
20	13, 16, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
21	12, 17, 18, 20	ser3le 10714	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) <_ ( seq M ( + , G ) ` j ) )
22	1, 2, 3, 4, 7, 10, 21	climle 11730	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4054   ` cfv 5285   RRcr 7954   + caddc 7958   <_ cle 8138   ZZcz 9402   ZZ>=cuz 9678   seqcseq 10624   ~~> cli 11674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-rp 9806  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-clim 11675

This theorem is referenced by:  iserge0  11739  isumle  11891  ege2le3  12067