Theorem iserle 11104

Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iserle.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
iserle.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
iserle.5	|- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
iserle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
iserle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
iserle.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
iserle	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, M   k, G   ph, k   k, Z

Proof of Theorem iserle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		iserle.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		iserle.4	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
4		iserle.5	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
5		iserle.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
6	1, 2, 5	serfre 10241	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
7	6	ffvelrnda 5548	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) e. RR )
8		iserle.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
9	1, 2, 8	serfre 10241	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) : Z --> RR )
10	9	ffvelrnda 5548	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` j ) e. RR )
11		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
12	11, 1	eleqtrdi 2230	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
13		simpll 518	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ph )
14	1	eleq2i 2204	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
15	14	biimpri 132	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
16	15	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. Z )
17	13, 16, 5	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
18	13, 16, 8	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
19		iserle.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
20	13, 16, 19	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
21	12, 17, 18, 20	ser3le 10284	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) <_ ( seq M ( + , G ) ` j ) )
22	1, 2, 3, 4, 7, 10, 21	climle 11096	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   RRcr 7612   + caddc 7616   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   seqcseq 10211   ~~> cli 11040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041

This theorem is referenced by:  iserge0  11105  isumle  11257  ege2le3  11366