ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserge0 Unicode version

Theorem iserge0 10728
Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iserge0.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iserge0.3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
iserge0.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
iserge0.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
iserge0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iserge0
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iserge0.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 serclim0 10689 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( ( ZZ>= `  M )  X.  {
0 } ) )  ~~>  0 )
5 iserge0.3 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
6 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
76, 1syl6eleq 2180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8 c0ex 7480 . . . . 5  |-  0  e.  _V
98fvconst2 5513 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ZZ>= `  M )  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
107, 9syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  0 )
11 0re 7486 . . 3  |-  0  e.  RR
1210, 11syl6eqel 2178 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) `  k
)  e.  RR )
13 iserge0.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
14 iserge0.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
1510, 14eqbrtrd 3865 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 0 } ) `  k
)  <_  ( F `  k ) )
161, 2, 4, 5, 12, 13, 15iserle 10727 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   {csn 3446   class class class wbr 3845    X. cxp 4436   ` cfv 5015   RRcr 7347   0cc0 7348    + caddc 7351    <_ cle 7521   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017    seqcseq 9848    ~~> cli 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663
This theorem is referenced by:  isumge0  10820
  Copyright terms: Public domain W3C validator