Theorem iserge0 11903

Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iserge0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
iserge0.3	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
iserge0.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
iserge0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
iserge0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Proof of Theorem iserge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		iserge0.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		serclim0 11865	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
5		iserge0.3	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
6		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
7	6, 1	eleqtrdi 2324	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
8		c0ex 8172	. . . . 5 |- 0 e. _V
9	8	fvconst2 5869	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
10	7, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
11		0re 8178	. . 3 |- 0 e. RR
12	10, 11	eqeltrdi 2322	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 0 } ) ` k ) e. RR )
13		iserge0.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
14		iserge0.5	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
15	10, 14	eqbrtrd 4110	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 0 } ) ` k ) <_ ( F ` k ) )
16	1, 2, 4, 5, 12, 13, 15	iserle 11902	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   ` cfv 5326   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   seqcseq 10708   ~~> cli 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839

This theorem is referenced by:  isumge0  11990