Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserle GIF version

Theorem iserle 11051
 Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserle.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserle.4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserle.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
iserle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
iserle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
iserle.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iserle (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserle.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iserle.4 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 iserle.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
5 iserle.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 5serfre 10188 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
76ffvelrnda 5521 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
8 iserle.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
91, 2, 8serfre 10188 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
109ffvelrnda 5521 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
11 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1211, 1syl6eleq 2208 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
13 simpll 501 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝜑)
141eleq2i 2182 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1514biimpri 132 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1615adantl 273 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
1713, 16, 5syl2anc 406 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1813, 16, 8syl2anc 406 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
19 iserle.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
2013, 16, 19syl2anc 406 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
2112, 17, 18, 20ser3le 10231 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗))
221, 2, 3, 4, 7, 10, 21climle 11043 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   class class class wbr 3897  ‘cfv 5091  ℝcr 7583   + caddc 7587   ≤ cle 7765  ℤcz 9005  ℤ≥cuz 9275  seqcseq 10158   ⇝ cli 10987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988 This theorem is referenced by:  iserge0  11052  isumle  11204  ege2le3  11276
 Copyright terms: Public domain W3C validator