Theorem isumle 11264

Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumle.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumle.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumle.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
isumle.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
isumle.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = B )
isumle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ B )
isumle.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
isumle.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumle	|- ( ph -> sum_ k e. Z A <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem isumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumle.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		isumle.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		isumle.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
4		climdm 11064	. . . 4 |- ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
5	3, 4	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
6		isumle.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
7		climdm 11064	. . . 4 |- ( seq M ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , G ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
8	6, 7	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
9		isumle.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
10		isumle.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
11	9, 10	eqeltrd 2216	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
12		isumle.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = B )
13		isumle.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2216	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
15		isumle.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ B )
16	15, 9, 12	3brtr4d 3960	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
17	1, 2, 5, 8, 11, 14, 16	iserle 11111	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) <_ ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
18	10	recnd 7794	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
19	1, 2, 9, 18	isum 11154	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z A = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
20	13	recnd 7794	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
21	1, 2, 12, 20	isum 11154	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
22	17, 19, 21	3brtr4d 3960	1 |- ( ph -> sum_ k e. Z A <_ sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ` cfv 5123   RRcr 7619   + caddc 7623   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218   ~~> cli 11047   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  isumlessdc  11265  eftlub  11396  eflegeo  11408  trilpolemisumle  13231