Theorem isumle 12262

Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumle.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumle.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumle.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
isumle.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
isumle.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = B )
isumle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ B )
isumle.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
isumle.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumle	|- ( ph -> sum_ k e. Z A <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem isumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumle.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		isumle.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		isumle.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
4		climdm 12061	. . . 4 |- ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
5	3, 4	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
6		isumle.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
7		climdm 12061	. . . 4 |- ( seq M ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , G ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
8	6, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
9		isumle.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
10		isumle.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
11	9, 10	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
12		isumle.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = B )
13		isumle.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
15		isumle.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ B )
16	15, 9, 12	3brtr4d 4162	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
17	1, 2, 5, 8, 11, 14, 16	iserle 12108	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) <_ ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
18	10	recnd 8354	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
19	1, 2, 9, 18	isum 12152	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z A = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
20	13	recnd 8354	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
21	1, 2, 12, 20	isum 12152	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( + , G ) ) )
22	17, 19, 21	3brtr4d 4162	1 |- ( ph -> sum_ k e. Z A <_ sum_ k e. Z B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   ` cfv 5377   RRcr 8178   + caddc 8182   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   seqcseq 10884   ~~> cli 12044   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120

This theorem is used by:  isumlessdc  12263  eftlub  12457  eflegeo  12468  log2tlbndlog2  16082  trilpolemisumle  17087