Theorem climlec2 12056

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climlec2.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climlec2.3	|- ( ph -> A e. RR )
climlec2.4	|- ( ph -> F ~~> B )
climlec2.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
climlec2.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climlec2	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Proof of Theorem climlec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climlec2.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climlec2.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
4	3	recnd 8319	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5		0z 9609	. . 3 |- 0 e. ZZ
6		uzssz 9896	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ ZZ
7		zex 9607	. . . 4 |- ZZ e. _V
8	6, 7	climconst2 12006	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. ZZ ) -> ( ZZ X. { A } ) ~~> A )
9	4, 5, 8	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ZZ X. { A } ) ~~> A )
10		climlec2.4	. 2 |- ( ph -> F ~~> B )
11		eluzelz 9885	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
12	11, 1	eleq2s 2329	. . . 4 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
13		fvconst2g 5904	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) = A )
14	3, 12, 13	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) = A )
15	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
16	14, 15	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) e. RR )
17		climlec2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
18		climlec2.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ ( F ` k ) )
19	14, 18	eqbrtrd 4137	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) <_ ( F ` k ) )
20	1, 2, 9, 10, 16, 17, 19	climle 12049	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3695   class class class wbr 4115   X. cxp 4753   ` cfv 5358   CCcc 8142   RRcr 8143   0cc0 8144   <_ cle 8326   ZZcz 9598   ZZ>=cuz 9875   ~~> cli 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-rp 10009  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-clim 11994

This theorem is referenced by:  climub  12059