Theorem climlec2 11484

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climlec2.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climlec2.3	|- ( ph -> A e. RR )
climlec2.4	|- ( ph -> F ~~> B )
climlec2.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
climlec2.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climlec2	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Proof of Theorem climlec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climlec2.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climlec2.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
4	3	recnd 8048	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5		0z 9328	. . 3 |- 0 e. ZZ
6		uzssz 9612	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ ZZ
7		zex 9326	. . . 4 |- ZZ e. _V
8	6, 7	climconst2 11434	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. ZZ ) -> ( ZZ X. { A } ) ~~> A )
9	4, 5, 8	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ZZ X. { A } ) ~~> A )
10		climlec2.4	. 2 |- ( ph -> F ~~> B )
11		eluzelz 9601	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
12	11, 1	eleq2s 2288	. . . 4 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
13		fvconst2g 5772	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) = A )
14	3, 12, 13	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) = A )
15	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
16	14, 15	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) e. RR )
17		climlec2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
18		climlec2.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A <_ ( F ` k ) )
19	14, 18	eqbrtrd 4051	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { A } ) ` k ) <_ ( F ` k ) )
20	1, 2, 9, 10, 16, 17, 19	climle 11477	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3618   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   ` cfv 5254   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ~~> cli 11421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422

This theorem is referenced by:  climub  11487