ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgscl2 Unicode version

Theorem lgscl2 14255
Description: The Legendre symbol is an integer with absolute value less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgscl2.z  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
lgscl2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  Z
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N
Allowed substitution hint:    Z( x)

Proof of Theorem lgscl2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
2 lgscl2.z . 2  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
31, 2lgscllem 14250 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  Z
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {crab 2459   ifcif 3534   {cpr 3593   class class class wbr 4001    |-> cmpt 4062   ` cfv 5213  (class class class)co 5870   0cc0 7806   1c1 7807    + caddc 7809    <_ cle 7987    - cmin 8122   -ucneg 8123    / cdiv 8623   NNcn 8913   2c2 8964   7c7 8969   8c8 8970   ZZcz 9247    mod cmo 10315   ^cexp 10512   abscabs 10997    || cdvds 11785   Primecprime 12097    pCnt cpc 12274    /Lclgs 14240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-isom 5222  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-irdg 6366  df-frec 6387  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6530  df-en 6736  df-dom 6737  df-fin 6738  df-sup 6978  df-inf 6979  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-5 8975  df-6 8976  df-7 8977  df-8 8978  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-q 9614  df-rp 9648  df-fz 10003  df-fzo 10136  df-fl 10263  df-mod 10316  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-ihash 10747  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-clim 11278  df-proddc 11550  df-dvds 11786  df-gcd 11934  df-prm 12098  df-phi 12201  df-pc 12275  df-lgs 14241
This theorem is referenced by:  lgscl  14257  lgsle1  14258  lgsdirprm  14277
  Copyright terms: Public domain W3C validator