Theorem lgscl 14876

Description: The Legendre symbol is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgscl	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )

Proof of Theorem lgscl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3255	. 2 |- { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 } C_ ZZ
2		eqid 2189	. . 3 |- { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 } = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
3	2	lgscl2 14874	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 } )
4	1, 3	sselid 3168	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   {crab 2472   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   1c1 7842   <_ cle 8023   ZZcz 9283   abscabs 11038   /Lclgs 14859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-proddc 11591  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-phi 12243  df-pc 12317  df-lgs 14860

This theorem is referenced by:  lgsvalmod  14881  lgscl1  14885  lgsneg1  14887  lgsmod  14888  lgsdirprm  14896  lgsdir  14897  lgsdilem2  14898  lgsdi  14899  lgsne0  14900  lgsabs1  14901  lgssq  14902  lgssq2  14903  lgsprme0  14904  lgsmulsqcoprm  14908  lgsdirnn0  14909  lgsdinn0  14910