Theorem lmbrf 15080

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 15079 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmbr2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmbr2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmbrf.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
lmbrf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lmbrf	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑢,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘,𝑢   𝜑,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑍,𝑘,𝑢   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑋,𝑘,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑢,𝑘)

Proof of Theorem lmbrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		lmbr2.4	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		lmbr2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	lmbr2 15079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
5		3anass 1009	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
6	2	uztrn2 9872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		lmbrf.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
8	7	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ 𝐴 ∈ 𝑢))
9		lmbrf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
10	9	fdmd 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
11	10	eleq2d 2302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
12	11	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
13	12	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
14	8, 13	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
15	6, 14	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
16	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
17	16	ralbidva 2538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
18	17	rexbidva 2539	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
20	19	ralbidv 2542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
21	20	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
22		toponmax 14890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
24		cnex 8251	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
25	23, 24	jctir 313	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V))
26		uzssz 9874	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
27		zsscn 9585	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
28	26, 27	sstri 3247	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
29	2, 28	eqsstri 3270	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
30	9, 29	jctir 313	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
31		elpm2r 6900	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
32	25, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
33	32	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))))
34	21, 33	bitr2d 189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))
35	5, 34	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))
36	4, 35	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ↑_pm cpm 6883  ℂcc 8125  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  TopOnctopon 14875  ⇝_𝑡clm 15052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pm 6885  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-top 14863  df-topon 14876  df-lm 15055

This theorem is referenced by:  lmconst  15081  lmss  15111  txlm  15144