Theorem lmbrf 14629

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 14628 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmbr2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmbr2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmbrf.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
lmbrf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lmbrf	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑢,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘,𝑢   𝜑,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑍,𝑘,𝑢   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑋,𝑘,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑢,𝑘)

Proof of Theorem lmbrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		lmbr2.4	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		lmbr2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	lmbr2 14628	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
5		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
6	2	uztrn2 9665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		lmbrf.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
8	7	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ 𝐴 ∈ 𝑢))
9		lmbrf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
10	9	fdmd 5431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
11	10	eleq2d 2274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
12	11	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
13	12	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
14	8, 13	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
15	6, 14	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
16	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
17	16	ralbidva 2501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
18	17	rexbidva 2502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
20	19	ralbidv 2505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
21	20	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
22		toponmax 14439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
24		cnex 8048	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
25	23, 24	jctir 313	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V))
26		uzssz 9667	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
27		zsscn 9379	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
28	26, 27	sstri 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
29	2, 28	eqsstri 3224	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
30	9, 29	jctir 313	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
31		elpm2r 6752	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
32	25, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
33	32	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))))
34	21, 33	bitr2d 189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))
35	5, 34	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))
36	4, 35	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐴 ∈ 𝑢))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ∃wrex 2484  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043  dom cdm 4674  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943   ↑_pm cpm 6735  ℂcc 7922  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647  TopOnctopon 14424  ⇝_𝑡clm 14601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pm 6737  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-top 14412  df-topon 14425  df-lm 14604

This theorem is referenced by:  lmconst  14630  lmss  14660  txlm  14693