Theorem m1expo 12211

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expo	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Proof of Theorem m1expo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12184	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		oveq2 5952	. . . . . . 7 |- ( N = ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3	2	eqcoms 2208	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
4		neg1cn 9141	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 e. CC )
6		neg1ap0 9145	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 # 0 )
8		2z 9400	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
10		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9501	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
12	5, 7, 11	expp1zapd 10827	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) )
13		m1expeven 10731	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) = 1 )
14	13	oveq1d 5959	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = ( 1 x. -u 1 ) )
15	4	mullidi 8075	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
16	14, 15	eqtrdi 2254	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = -u 1 )
17	12, 16	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
19	3, 18	sylan9eqr 2260	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
21	20	rexlimdva 2623	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
22	1, 21	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
23	22	imp 124	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   -ucneg 8244   # cap 8654   2c2 9087   ZZcz 9372   ^cexp 10683   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  15590