Theorem m1expo 12326

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expo	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Proof of Theorem m1expo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12299	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		oveq2 5975	. . . . . . 7 |- ( N = ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3	2	eqcoms 2210	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
4		neg1cn 9176	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 e. CC )
6		neg1ap0 9180	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 # 0 )
8		2z 9435	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
10		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9536	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
12	5, 7, 11	expp1zapd 10864	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) )
13		m1expeven 10768	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) = 1 )
14	13	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = ( 1 x. -u 1 ) )
15	4	mullidi 8110	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
16	14, 15	eqtrdi 2256	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = -u 1 )
17	12, 16	eqtrd 2240	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
19	3, 18	sylan9eqr 2262	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
21	20	rexlimdva 2625	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
22	1, 21	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
23	22	imp 124	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   -ucneg 8279   # cap 8689   2c2 9122   ZZcz 9407   ^cexp 10720   || cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  15705