Theorem m1expo 11899

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expo	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Proof of Theorem m1expo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11872	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		oveq2 5882	. . . . . . 7 |- ( N = ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3	2	eqcoms 2180	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
4		neg1cn 9022	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 e. CC )
6		neg1ap0 9026	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 # 0 )
8		2z 9279	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
10		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9379	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
12	5, 7, 11	expp1zapd 10659	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) )
13		m1expeven 10564	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) = 1 )
14	13	oveq1d 5889	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = ( 1 x. -u 1 ) )
15	4	mulid2i 7959	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
16	14, 15	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = -u 1 )
17	12, 16	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
19	3, 18	sylan9eqr 2232	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
21	20	rexlimdva 2594	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
22	1, 21	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
23	22	imp 124	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   x. cmul 7815   -ucneg 8127   # cap 8536   2c2 8968   ZZcz 9251   ^cexp 10516   || cdvds 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-dvds 11790

This theorem is referenced by: (None)