Theorem m1expo 11783

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expo	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Proof of Theorem m1expo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11756	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		oveq2 5829	. . . . . . 7 |- ( N = ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3	2	eqcoms 2160	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
4		neg1cn 8932	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 e. CC )
6		neg1ap0 8936	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 # 0 )
8		2z 9189	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
10		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9286	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
12	5, 7, 11	expp1zapd 10553	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) )
13		m1expeven 10459	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) = 1 )
14	13	oveq1d 5836	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = ( 1 x. -u 1 ) )
15	4	mulid2i 7875	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
16	14, 15	eqtrdi 2206	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = -u 1 )
17	12, 16	eqtrd 2190	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
18	17	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
19	3, 18	sylan9eqr 2212	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )
20	19	ex 114	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
21	20	rexlimdva 2574	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
22	1, 21	sylbid 149	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
23	22	imp 123	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   CCcc 7724   0cc0 7726   1c1 7727   + caddc 7729   x. cmul 7731   -ucneg 8041   # cap 8450   2c2 8878   ZZcz 9161   ^cexp 10411   || cdvds 11676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-xor 1358  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-dvds 11677

This theorem is referenced by: (None)