Theorem m1expo 11907

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expo	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Proof of Theorem m1expo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11880	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		oveq2 5885	. . . . . . 7 |- ( N = ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3	2	eqcoms 2180	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
4		neg1cn 9026	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 e. CC )
6		neg1ap0 9030	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> -u 1 # 0 )
8		2z 9283	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
10		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 9383	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
12	5, 7, 11	expp1zapd 10665	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) )
13		m1expeven 10569	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) = 1 )
14	13	oveq1d 5892	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = ( 1 x. -u 1 ) )
15	4	mullidi 7962	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
16	14, 15	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. n ) ) x. -u 1 ) = -u 1 )
17	12, 16	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = -u 1 )
19	3, 18	sylan9eqr 2232	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
21	20	rexlimdva 2594	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
22	1, 21	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) )
23	22	imp 124	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( -u 1 ^ N ) = -u 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   -ucneg 8131   # cap 8540   2c2 8972   ZZcz 9255   ^cexp 10521   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-dvds 11797

This theorem is referenced by: (None)