Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expo GIF version

Theorem m1expo 11239
 Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1expo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expo
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11212 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 oveq2 5674 . . . . . . 7 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
32eqcoms 2092 . . . . . 6 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
4 neg1cn 8588 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
54a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
6 neg1ap0 8592 . . . . . . . . . 10 -1 # 0
76a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -1 # 0)
8 2z 8839 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
98a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
119, 10zmulcld 8935 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
125, 7, 11expp1zapd 10156 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
13 m1expeven 10063 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
1413oveq1d 5681 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
154mulid2i 7552 . . . . . . . . 9 (1 · -1) = -1
1614, 15syl6eq 2137 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
1712, 16eqtrd 2121 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
1817adantl 272 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
193, 18sylan9eqr 2143 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
2019ex 114 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
2120rexlimdva 2490 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
221, 21sylbid 149 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
2322imp 123 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416  -cneg 7715   # cap 8119  2c2 8534  ℤcz 8811  ↑cexp 10015   ∥ cdvds 11135 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-xor 1313  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-dvds 11136 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator