ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expo GIF version

Theorem m1expo 11524
Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1expo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expo
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11497 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 oveq2 5750 . . . . . . 7 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
32eqcoms 2120 . . . . . 6 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
4 neg1cn 8793 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
54a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
6 neg1ap0 8797 . . . . . . . . . 10 -1 # 0
76a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -1 # 0)
8 2z 9050 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
98a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
119, 10zmulcld 9147 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
125, 7, 11expp1zapd 10401 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
13 m1expeven 10308 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
1413oveq1d 5757 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
154mulid2i 7737 . . . . . . . . 9 (1 · -1) = -1
1614, 15syl6eq 2166 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
1712, 16eqtrd 2150 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
1817adantl 275 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
193, 18sylan9eqr 2172 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
2019ex 114 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
2120rexlimdva 2526 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
221, 21sylbid 149 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
2322imp 123 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593  -cneg 7902   # cap 8311  2c2 8739  cz 9022  cexp 10260  cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-xor 1339  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-dvds 11421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator