Theorem mulassnqg 7468

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7432	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		mulpipqqs 7457	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		mulpipqqs 7457	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4		mulpipqqs 7457	. 2 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5		mulpipqqs 7457	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6		mulclpi 7412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
7	6	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8		mulclpi 7412	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
9	8	ad2ant2l 508	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
10	7, 9	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11		mulclpi 7412	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12	11	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
13		mulclpi 7412	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 508	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
15	12, 14	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
16		mulasspig 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
17	16	3adant1r 1233	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
18	17	3adant2r 1235	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
19	18	3adant3r 1237	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
20		mulasspig 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
21	20	3adant1l 1232	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
22	21	3adant2l 1234	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
23	22	3adant3l 1236	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6713	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  Ncnpi 7356   ·_N cmi 7358   ~_Q ceq 7363  Qcnq 7364   ·_Q cmq 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-mqqs 7434

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7475  halfnqq  7494  prarloclemarch  7502  ltrnqg  7504  addnqprl  7613  addnqpru  7614  appdivnq  7647  mulnqprl  7652  mulnqpru  7653  mullocprlem  7654  mulassprg  7665  1idprl  7674  1idpru  7675  recexprlem1ssl  7717  recexprlem1ssu  7718