ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulassnqg GIF version

Theorem mulassnqg 7383
Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulassnqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) ยทQ ๐ถ) = (๐ด ยทQ (๐ต ยทQ ๐ถ)))

Proof of Theorem mulassnqg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7347 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 mulpipqqs 7372 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
3 mulpipqqs 7372 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
4 mulpipqqs 7372 . 2 ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ), ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
5 mulpipqqs 7372 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))โŸฉ] ~Q )
6 mulclpi 7327 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
76ad2ant2r 509 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
8 mulclpi 7327 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
98ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
107, 9jca 306 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
11 mulclpi 7327 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
1211ad2ant2r 509 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
13 mulclpi 7327 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1413ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1512, 14jca 306 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N))
16 mulasspig 7331 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
17163adant1r 1231 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
18173adant2r 1233 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
19183adant3r 1235 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
20 mulasspig 7331 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
21203adant1l 1230 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
22213adant2l 1232 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
23223adant3l 1234 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
241, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23ecoviass 6645 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) ยทQ ๐ถ) = (๐ด ยทQ (๐ต ยทQ ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5875  Ncnpi 7271   ยทN cmi 7273   ~Q ceq 7278  Qcnq 7279   ยทQ cmq 7282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-mqqs 7349
This theorem is referenced by:  recmulnqg  7390  halfnqq  7409  prarloclemarch  7417  ltrnqg  7419  addnqprl  7528  addnqpru  7529  appdivnq  7562  mulnqprl  7567  mulnqpru  7568  mullocprlem  7569  mulassprg  7580  1idprl  7589  1idpru  7590  recexprlem1ssl  7632  recexprlem1ssu  7633
  Copyright terms: Public domain W3C validator