Theorem mulassnqg 7532

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7496	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		mulpipqqs 7521	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		mulpipqqs 7521	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4		mulpipqqs 7521	. 2 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5		mulpipqqs 7521	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6		mulclpi 7476	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
7	6	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8		mulclpi 7476	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
9	8	ad2ant2l 508	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
10	7, 9	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11		mulclpi 7476	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12	11	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
13		mulclpi 7476	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 508	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
15	12, 14	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
16		mulasspig 7480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
17	16	3adant1r 1234	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
18	17	3adant2r 1236	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
19	18	3adant3r 1238	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
20		mulasspig 7480	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
21	20	3adant1l 1233	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
22	21	3adant2l 1235	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
23	22	3adant3l 1237	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6755	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5967  Ncnpi 7420   ·_N cmi 7422   ~_Q ceq 7427  Qcnq 7428   ·_Q cmq 7431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-mi 7454  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-mqqs 7498

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7539  halfnqq  7558  prarloclemarch  7566  ltrnqg  7568  addnqprl  7677  addnqpru  7678  appdivnq  7711  mulnqprl  7716  mulnqpru  7717  mullocprlem  7718  mulassprg  7729  1idprl  7738  1idpru  7739  recexprlem1ssl  7781  recexprlem1ssu  7782