Theorem mulassnqg 7346

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7310	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		mulpipqqs 7335	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		mulpipqqs 7335	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4		mulpipqqs 7335	. 2 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5		mulpipqqs 7335	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6		mulclpi 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
7	6	ad2ant2r 506	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8		mulclpi 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
9	8	ad2ant2l 505	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
10	7, 9	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11		mulclpi 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12	11	ad2ant2r 506	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
13		mulclpi 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 505	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
15	12, 14	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
16		mulasspig 7294	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
17	16	3adant1r 1226	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
18	17	3adant2r 1228	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
19	18	3adant3r 1230	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
20		mulasspig 7294	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
21	20	3adant1l 1225	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
22	21	3adant2l 1227	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
23	22	3adant3l 1229	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6623	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  Ncnpi 7234   ·_N cmi 7236   ~_Q ceq 7241  Qcnq 7242   ·_Q cmq 7245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-mqqs 7312

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7353  halfnqq  7372  prarloclemarch  7380  ltrnqg  7382  addnqprl  7491  addnqpru  7492  appdivnq  7525  mulnqprl  7530  mulnqpru  7531  mullocprlem  7532  mulassprg  7543  1idprl  7552  1idpru  7553  recexprlem1ssl  7595  recexprlem1ssu  7596