ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulassnqg GIF version

Theorem mulassnqg 7382
Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulassnqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) ยทQ ๐ถ) = (๐ด ยทQ (๐ต ยทQ ๐ถ)))

Proof of Theorem mulassnqg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7346 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 mulpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
3 mulpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
4 mulpipqqs 7371 . 2 ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ), ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
5 mulpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))โŸฉ] ~Q )
6 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
76ad2ant2r 509 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
8 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
98ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
107, 9jca 306 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
11 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
1211ad2ant2r 509 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
13 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1413ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1512, 14jca 306 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N))
16 mulasspig 7330 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
17163adant1r 1231 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
18173adant2r 1233 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
19183adant3r 1235 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
20 mulasspig 7330 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
21203adant1l 1230 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
22213adant2l 1232 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
23223adant3l 1234 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
241, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23ecoviass 6644 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) ยทQ ๐ถ) = (๐ด ยทQ (๐ต ยทQ ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5874  Ncnpi 7270   ยทN cmi 7272   ~Q ceq 7277  Qcnq 7278   ยทQ cmq 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-mqqs 7348
This theorem is referenced by:  recmulnqg  7389  halfnqq  7408  prarloclemarch  7416  ltrnqg  7418  addnqprl  7527  addnqpru  7528  appdivnq  7561  mulnqprl  7566  mulnqpru  7567  mullocprlem  7568  mulassprg  7579  1idprl  7588  1idpru  7589  recexprlem1ssl  7631  recexprlem1ssu  7632
  Copyright terms: Public domain W3C validator