ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgcdr Unicode version

Theorem mulgcdr 11733
Description: Reverse distribution law for the  gcd operator. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulgcdr  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  (
( A  x.  C
)  gcd  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  C ) )

Proof of Theorem mulgcdr
StepHypRef Expression
1 mulgcd 11731 . . 3  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( C  x.  A
)  gcd  ( C  x.  B ) )  =  ( C  x.  ( A  gcd  B ) ) )
213coml 1189 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  (
( C  x.  A
)  gcd  ( C  x.  B ) )  =  ( C  x.  ( A  gcd  B ) ) )
3 zcn 9079 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
433ad2ant1 1003 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
5 nn0cn 9007 . . . . 5  |-  ( C  e.  NN0  ->  C  e.  CC )
653ad2ant3 1005 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
74, 6mulcomd 7807 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  C )  =  ( C  x.  A ) )
8 zcn 9079 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
983ad2ant2 1004 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
109, 6mulcomd 7807 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
117, 10oveq12d 5796 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  (
( A  x.  C
)  gcd  ( B  x.  C ) )  =  ( ( C  x.  A )  gcd  ( C  x.  B )
) )
12 gcdcl 11682 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
13123adant3 1002 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A  gcd  B )  e. 
NN0 )
1413nn0cnd 9052 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
1514, 6mulcomd 7807 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  C )  =  ( C  x.  ( A  gcd  B ) ) )
162, 11, 153eqtr4d 2183 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  ->  (
( A  x.  C
)  gcd  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5778   CCcc 7638    x. cmul 7645   NN0cn0 8997   ZZcz 9074    gcd cgcd 11662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758  ax-arch 7759  ax-caucvg 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-frec 6292  df-sup 6875  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-q 9435  df-rp 9467  df-fz 9818  df-fzo 9947  df-fl 10070  df-mod 10123  df-seqfrec 10246  df-exp 10320  df-cj 10642  df-re 10643  df-im 10644  df-rsqrt 10798  df-abs 10799  df-dvds 11521  df-gcd 11663
This theorem is referenced by:  gcddiv  11734  rpmulgcd  11741  hashgcdlem  11930
  Copyright terms: Public domain W3C validator