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Theorem mulsubdivbinom2ap 10856
Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a number apart from zero. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsubdivbinom2ap |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Proof of Theorem mulsubdivbinom2ap
StepHypRef Expression
1 simp1 1000 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> A e. CC )
21adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> A e. CC )
3 simpl2 1004 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> B e. CC )
4 simpl 109 . . . 4 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C e. CC )
54adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C e. CC )
6 mulbinom2 10801 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
76oveq1d 5959 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) )
87oveq1d 5959 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
92, 3, 5, 8syl3anc 1250 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
105, 2mulcld 8093 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. A ) e. CC )
1110sqcld 10816 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC )
12 2cnd 9109 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> 2 e. CC )
13 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> C e. CC )
1412, 13mulcld 8093 . . . . . . . . 9 |- ( C e. CC -> ( 2 x. C ) e. CC )
1514adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
1615adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
17 mulcl 8052 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
18173adant3 1020 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
1918adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
2016, 19mulcld 8093 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC )
2111, 20addcld 8092 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22 sqcl 10745 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23223ad2ant2 1022 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2423adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2521, 24addcld 8092 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
26 simpl3 1005 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> D e. CC )
27 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C e. CC /\ C # 0 ) )
28 divsubdirap 8781 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1250 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
30 divdirap 8770 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC /\ ( B ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
3121, 24, 27, 30syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
32 divdirap 8770 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
3311, 20, 27, 32syl3anc 1250 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
34 sqmul 10746 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
354, 1, 34syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
3635oveq1d 5959 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) )
37 sqcl 10745 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. CC -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
40 sqcl 10745 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
41403ad2ant1 1021 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
4241adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
43 div23ap 8764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ^ 2 ) e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
4439, 42, 27, 43syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
45 sqdividap 10749 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4645adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4746oveq1d 5959 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
4836, 44, 473eqtrd 2242 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
49 div23ap 8764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. C ) e. CC /\ ( A x. B ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
5016, 19, 27, 49syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
51 2cnd 9109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> 2 e. CC )
52 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C # 0 )
5351, 4, 52divcanap4d 8869 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5453adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5554oveq1d 5959 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5650, 55eqtrd 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5748, 56oveq12d 5962 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5833, 57eqtrd 2238 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5958oveq1d 5959 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6031, 59eqtrd 2238 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6160oveq1d 5959 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) )
625, 42mulcld 8093 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. ( A ^ 2 ) ) e. CC )
63 2cnd 9109 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6463, 17mulcld 8093 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
65643adant3 1020 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6665adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6762, 66addcld 8092 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
6852adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C # 0 )
6924, 5, 68divclapd 8863 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( B ^ 2 ) / C ) e. CC )
7026, 5, 68divclapd 8863 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( D / C ) e. CC )
7167, 69, 70addsubassd 8403 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
7229, 61, 713eqtrd 2242 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
73 divsubdirap 8781 . . . . 5 |- ( ( ( B ^ 2 ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7424, 26, 27, 73syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7574eqcomd 2211 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) )
7675oveq2d 5960 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
779, 72, 763eqtrd 2242 1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   + caddc 7928   x. cmul 7930   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   2c2 9087   ^cexp 10683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-exp 10684
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem1  15582
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