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Theorem mulsubdivbinom2ap 11127
Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a number apart from zero. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsubdivbinom2ap |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Proof of Theorem mulsubdivbinom2ap
StepHypRef Expression
1 simp1 1028 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> A e. CC )
21adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> A e. CC )
3 simpl2 1032 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> B e. CC )
4 simpl 109 . . . 4 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C e. CC )
54adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C e. CC )
6 mulbinom2 11071 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
76oveq1d 6090 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) )
87oveq1d 6090 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
92, 3, 5, 8syl3anc 1278 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
105, 2mulcld 8336 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. A ) e. CC )
1110sqcld 11087 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC )
12 2cnd 9356 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> 2 e. CC )
13 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> C e. CC )
1412, 13mulcld 8336 . . . . . . . . 9 |- ( C e. CC -> ( 2 x. C ) e. CC )
1514adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
1615adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
17 mulcl 8296 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
18173adant3 1048 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
1918adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
2016, 19mulcld 8336 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC )
2111, 20addcld 8335 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22 sqcl 11015 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23223ad2ant2 1050 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2423adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2521, 24addcld 8335 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
26 simpl3 1033 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> D e. CC )
27 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C e. CC /\ C # 0 ) )
28 divsubdirap 9028 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
30 divdirap 9017 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC /\ ( B ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
3121, 24, 27, 30syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
32 divdirap 9017 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
3311, 20, 27, 32syl3anc 1278 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
34 sqmul 11016 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
354, 1, 34syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
3635oveq1d 6090 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) )
37 sqcl 11015 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. CC -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
40 sqcl 11015 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
41403ad2ant1 1049 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
4241adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
43 div23ap 9011 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ^ 2 ) e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
4439, 42, 27, 43syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
45 sqdividap 11019 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4645adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4746oveq1d 6090 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
4836, 44, 473eqtrd 2275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
49 div23ap 9011 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. C ) e. CC /\ ( A x. B ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
5016, 19, 27, 49syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
51 2cnd 9356 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> 2 e. CC )
52 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C # 0 )
5351, 4, 52divcanap4d 9116 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5453adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5554oveq1d 6090 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5650, 55eqtrd 2271 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5748, 56oveq12d 6093 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5833, 57eqtrd 2271 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5958oveq1d 6090 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6031, 59eqtrd 2271 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6160oveq1d 6090 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) )
625, 42mulcld 8336 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. ( A ^ 2 ) ) e. CC )
63 2cnd 9356 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6463, 17mulcld 8336 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
65643adant3 1048 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6665adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6762, 66addcld 8335 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
6852adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C # 0 )
6924, 5, 68divclapd 9110 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( B ^ 2 ) / C ) e. CC )
7026, 5, 68divclapd 9110 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( D / C ) e. CC )
7167, 69, 70addsubassd 8647 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
7229, 61, 713eqtrd 2275 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
73 divsubdirap 9028 . . . . 5 |- ( ( ( B ^ 2 ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7424, 26, 27, 73syl3anc 1278 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7574eqcomd 2244 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) )
7675oveq2d 6091 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
779, 72, 763eqtrd 2275 1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   2c2 9334   ^cexp 10953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-exp 10954
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem1  16138
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