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Theorem mulsubdivbinom2ap 11073
Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a number apart from zero. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsubdivbinom2ap |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Proof of Theorem mulsubdivbinom2ap
StepHypRef Expression
1 simp1 1024 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> A e. CC )
21adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> A e. CC )
3 simpl2 1028 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> B e. CC )
4 simpl 109 . . . 4 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C e. CC )
54adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C e. CC )
6 mulbinom2 11018 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
76oveq1d 6065 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) )
87oveq1d 6065 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
92, 3, 5, 8syl3anc 1274 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
105, 2mulcld 8294 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. A ) e. CC )
1110sqcld 11033 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC )
12 2cnd 9310 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> 2 e. CC )
13 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> C e. CC )
1412, 13mulcld 8294 . . . . . . . . 9 |- ( C e. CC -> ( 2 x. C ) e. CC )
1514adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
1615adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
17 mulcl 8254 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
18173adant3 1044 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
1918adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
2016, 19mulcld 8294 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC )
2111, 20addcld 8293 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22 sqcl 10962 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23223ad2ant2 1046 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2423adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2521, 24addcld 8293 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
26 simpl3 1029 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> D e. CC )
27 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C e. CC /\ C # 0 ) )
28 divsubdirap 8982 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
30 divdirap 8971 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC /\ ( B ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
3121, 24, 27, 30syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
32 divdirap 8971 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
3311, 20, 27, 32syl3anc 1274 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
34 sqmul 10963 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
354, 1, 34syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
3635oveq1d 6065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) )
37 sqcl 10962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. CC -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
40 sqcl 10962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
41403ad2ant1 1045 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
4241adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
43 div23ap 8965 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ^ 2 ) e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
4439, 42, 27, 43syl3anc 1274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
45 sqdividap 10966 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4645adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4746oveq1d 6065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
4836, 44, 473eqtrd 2269 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
49 div23ap 8965 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. C ) e. CC /\ ( A x. B ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
5016, 19, 27, 49syl3anc 1274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
51 2cnd 9310 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> 2 e. CC )
52 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C # 0 )
5351, 4, 52divcanap4d 9070 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5453adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5554oveq1d 6065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5650, 55eqtrd 2265 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5748, 56oveq12d 6068 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5833, 57eqtrd 2265 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5958oveq1d 6065 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6031, 59eqtrd 2265 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6160oveq1d 6065 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) )
625, 42mulcld 8294 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. ( A ^ 2 ) ) e. CC )
63 2cnd 9310 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6463, 17mulcld 8294 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
65643adant3 1044 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6665adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6762, 66addcld 8293 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
6852adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C # 0 )
6924, 5, 68divclapd 9064 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( B ^ 2 ) / C ) e. CC )
7026, 5, 68divclapd 9064 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( D / C ) e. CC )
7167, 69, 70addsubassd 8604 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
7229, 61, 713eqtrd 2269 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
73 divsubdirap 8982 . . . . 5 |- ( ( ( B ^ 2 ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7424, 26, 27, 73syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7574eqcomd 2238 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) )
7675oveq2d 6066 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
779, 72, 763eqtrd 2269 1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   + caddc 8130   x. cmul 8132   - cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   ^cexp 10900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-exp 10901
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem1  15978
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