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Theorem mulsubdivbinom2ap 10705
Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a number apart from zero. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsubdivbinom2ap |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Proof of Theorem mulsubdivbinom2ap
StepHypRef Expression
1 simp1 998 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> A e. CC )
21adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> A e. CC )
3 simpl2 1002 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> B e. CC )
4 simpl 109 . . . 4 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C e. CC )
54adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C e. CC )
6 mulbinom2 10651 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
76oveq1d 5903 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) )
87oveq1d 5903 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
92, 3, 5, 8syl3anc 1248 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) )
105, 2mulcld 7992 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. A ) e. CC )
1110sqcld 10666 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC )
12 2cnd 9006 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> 2 e. CC )
13 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> C e. CC )
1412, 13mulcld 7992 . . . . . . . . 9 |- ( C e. CC -> ( 2 x. C ) e. CC )
1514adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
1615adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
17 mulcl 7952 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
18173adant3 1018 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
1918adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
2016, 19mulcld 7992 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC )
2111, 20addcld 7991 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22 sqcl 10595 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23223ad2ant2 1020 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2423adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
2521, 24addcld 7991 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
26 simpl3 1003 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> D e. CC )
27 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C e. CC /\ C # 0 ) )
28 divsubdirap 8679 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1248 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) )
30 divdirap 8668 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) e. CC /\ ( B ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
3121, 24, 27, 30syl3anc 1248 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
32 divdirap 8668 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
3311, 20, 27, 32syl3anc 1248 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) )
34 sqmul 10596 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
354, 1, 34syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. A ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) )
3635oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) )
37 sqcl 10595 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. CC -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
40 sqcl 10595 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
41403ad2ant1 1019 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
4241adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
43 div23ap 8662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ^ 2 ) e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
4439, 42, 27, 43syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) x. ( A ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) )
45 sqdividap 10599 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4645adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C ^ 2 ) / C ) = C )
4746oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C ^ 2 ) / C ) x. ( A ^ 2 ) ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
4836, 44, 473eqtrd 2224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) = ( C x. ( A ^ 2 ) ) )
49 div23ap 8662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. C ) e. CC /\ ( A x. B ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
5016, 19, 27, 49syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) )
51 2cnd 9006 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> 2 e. CC )
52 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> C # 0 )
5351, 4, 52divcanap4d 8767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ C # 0 ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5453adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) / C ) = 2 )
5554oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / C ) x. ( A x. B ) ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5650, 55eqtrd 2220 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) = ( 2 x. ( A x. B ) ) )
5748, 56oveq12d 5906 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) / C ) + ( ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) / C ) ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5833, 57eqtrd 2220 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) = ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) )
5958oveq1d 5903 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) / C ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6031, 59eqtrd 2220 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) )
6160oveq1d 5903 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) )
625, 42mulcld 7992 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. ( A ^ 2 ) ) e. CC )
63 2cnd 9006 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6463, 17mulcld 7992 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
65643adant3 1018 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6665adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
6762, 66addcld 7991 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
6852adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C # 0 )
6924, 5, 68divclapd 8761 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( B ^ 2 ) / C ) e. CC )
7026, 5, 68divclapd 8761 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( D / C ) e. CC )
7167, 69, 70addsubassd 8302 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) / C ) ) - ( D / C ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
7229, 61, 713eqtrd 2224 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( C x. A ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. C ) x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) )
73 divsubdirap 8679 . . . . 5 |- ( ( ( B ^ 2 ) e. CC /\ D e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7424, 26, 27, 73syl3anc 1248 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) )
7574eqcomd 2193 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) )
7675oveq2d 5904 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) / C ) - ( D / C ) ) ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
779, 72, 763eqtrd 2224 1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( C x. A ) + B ) ^ 2 ) - D ) / C ) = ( ( ( C x. ( A ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - D ) / C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   CCcc 7823   0cc0 7825   + caddc 7828   x. cmul 7830   - cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643   2c2 8984   ^cexp 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-exp 10534
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem1  14749
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