Theorem nndivdvds 11736

Description: Strong form of dvdsval2 11730 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9210	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		nnne0 8885	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4	3	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
5		nnz 9210	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		dvdsval2 11730	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
9	8	anbi1d 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
10		nnre 8864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		nnre 8864	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		nngt0 8882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
15	14	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
16		nngt0 8882	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
17	16	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
18	11, 13, 15, 17	divgt0d 8830	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
19	18	biantrud 302	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
20		elnnz 9201	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
22	9, 19, 21	3bitr4d 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℤcz 9191   ∥ cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  nndivides  11737  dvdsdivcl  11788  divgcdnn  11908  lcmgcdlem  12009  isprm6  12079  oddpwdclemodd  12104  oddpwdclemdc  12105  divnumden  12128  hashgcdlem  12170  hashgcdeq  12171  oddprmdvds  12284  infpnlem2  12290  infpn2  12389