Theorem nndivdvds 11963

Description: Strong form of dvdsval2 11957 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9347	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		nnne0 9020	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
5		nnz 9347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		dvdsval2 11957	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
9	8	anbi1d 465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
10		nnre 8999	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		nnre 8999	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		nngt0 9017	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
16		nngt0 9017	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
17	16	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
18	11, 13, 15, 17	divgt0d 8964	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
19	18	biantrud 304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
20		elnnz 9338	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
22	9, 19, 21	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923  ℝcr 7880  0cc0 7881   < clt 8063   / cdiv 8701  ℕcn 8992  ℤcz 9328   ∥ cdvds 11954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-dvds 11955

This theorem is referenced by:  nndivides  11964  dvdsdivcl  12017  divgcdnn  12152  lcmgcdlem  12255  isprm6  12325  oddpwdclemodd  12350  oddpwdclemdc  12351  divnumden  12374  hashgcdlem  12416  hashgcdeq  12418  oddprmdvds  12533  infpnlem2  12539  infpn2  12683  znrrg  14226  mersenne  15243  perfectlem1  15245  perfect  15247