Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndivdvds GIF version

Theorem nndivdvds 11685
 Description: Strong form of dvdsval2 11679 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndivdvds ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds
StepHypRef Expression
1 nnz 9180 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 nnne0 8855 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
43adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
5 nnz 9180 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
65adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 dvdsval2 11679 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
82, 4, 6, 7syl3anc 1220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
98anbi1d 461 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
10 nnre 8834 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 nnre 8834 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1312adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 nngt0 8852 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
1514adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
16 nngt0 8852 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
1716adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
1811, 13, 15, 17divgt0d 8800 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
1918biantrud 302 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
20 elnnz 9171 . . 3 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
2120a1i 9 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
229, 19, 213bitr4d 219 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℝcr 7725  0cc0 7726   < clt 7906   / cdiv 8539  ℕcn 8827  ℤcz 9161   ∥ cdvds 11676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-dvds 11677 This theorem is referenced by:  nndivides  11686  dvdsdivcl  11734  divgcdnn  11850  lcmgcdlem  11945  isprm6  12012  oddpwdclemodd  12037  oddpwdclemdc  12038  divnumden  12061  hashgcdlem  12101  hashgcdeq  12102
 Copyright terms: Public domain W3C validator