Theorem nneoor 9445

Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nneoor	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneoor

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
2	1	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
3	2	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
4		oveq1 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
5	4	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
6	3, 5	orbi12d 794	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
7		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
8	7	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
9	8	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
10		oveq1 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
11	10	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
12	9, 11	orbi12d 794	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
13		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
14	13	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
15	14	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		oveq1 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
17	16	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	15, 17	orbi12d 794	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
19		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
20	19	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
21	20	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		oveq1 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24	21, 23	orbi12d 794	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
25		df-2 9066	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	25	oveq1i 5935	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
27		2div2e1 9140	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
28	26, 27	eqtr3i 2219	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) / 2) = 1
29		1nn 9018	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
30	28, 29	eqeltri 2269	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
31	30	orci 732	. . 3 ⊢ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
32		peano2nn 9019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
33		nncn 9015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
34		add1p1 9258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
35	34	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
36		2cn 9078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		2ap0 9100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
38	36, 37	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
39		divdirap 8741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
40	36, 38, 39	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
41	27	oveq2i 5936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
42	40, 41	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
43	35, 42	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
44	33, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
45	44	eleq1d 2265	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
46	32, 45	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
47	46	orim2d 789	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
48		orcom 729	. . . 4 ⊢ ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
49	47, 48	imbitrdi 161	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
50	6, 12, 18, 24, 31, 49	nnind 9023	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
51	50	orcomd 730	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066

This theorem is referenced by:  nneo  9446  zeo  9448