Theorem nneoor 9177

Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nneoor	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneoor

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
2	1	oveq1d 5797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
3	2	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
4		oveq1 5789	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
5	4	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
6	3, 5	orbi12d 783	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
7		oveq1 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
8	7	oveq1d 5797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
9	8	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
10		oveq1 5789	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
11	10	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
12	9, 11	orbi12d 783	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
13		oveq1 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
14	13	oveq1d 5797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
15	14	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		oveq1 5789	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
17	16	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	15, 17	orbi12d 783	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
19		oveq1 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
20	19	oveq1d 5797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
21	20	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		oveq1 5789	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24	21, 23	orbi12d 783	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
25		df-2 8803	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	25	oveq1i 5792	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
27		2div2e1 8876	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
28	26, 27	eqtr3i 2163	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) / 2) = 1
29		1nn 8755	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
30	28, 29	eqeltri 2213	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
31	30	orci 721	. . 3 ⊢ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
32		peano2nn 8756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
33		nncn 8752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
34		add1p1 8993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
35	34	oveq1d 5797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
36		2cn 8815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		2ap0 8837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
38	36, 37	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
39		divdirap 8481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
40	36, 38, 39	mp3an23 1308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
41	27	oveq2i 5793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
42	40, 41	eqtrdi 2189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
43	35, 42	eqtrd 2173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
44	33, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
45	44	eleq1d 2209	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
46	32, 45	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
47	46	orim2d 778	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
48		orcom 718	. . . 4 ⊢ ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
49	47, 48	syl6ib 160	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
50	6, 12, 18, 24, 31, 49	nnind 8760	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
51	50	orcomd 719	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   # cap 8367   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803

This theorem is referenced by:  nneo  9178  zeo  9180