Theorem nneoor 9727

Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nneoor	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneoor

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
2	1	oveq1d 6090	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
3	2	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
4		oveq1 6082	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
6	3, 5	orbi12d 805	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
7		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
8	7	oveq1d 6090	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
9	8	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
10		oveq1 6082	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
11	10	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
12	9, 11	orbi12d 805	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
13		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
14	13	oveq1d 6090	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
15	14	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		oveq1 6082	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
17	16	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	15, 17	orbi12d 805	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
19		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
20	19	oveq1d 6090	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
21	20	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		oveq1 6082	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24	21, 23	orbi12d 805	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
25		df-2 9342	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	25	oveq1i 6085	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
27		2div2e1 9416	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
28	26, 27	eqtr3i 2261	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) / 2) = 1
29		1nn 9294	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
30	28, 29	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
31	30	orci 743	. . 3 ⊢ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
32		peano2nn 9295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
33		nncn 9291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
34		add1p1 9534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
35	34	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
36		2cn 9354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		2ap0 9376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
38	36, 37	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
39		divdirap 9017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
40	36, 38, 39	mp3an23 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
41	27	oveq2i 6086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
42	40, 41	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
43	35, 42	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
44	33, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
45	44	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
46	32, 45	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
47	46	orim2d 800	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
48		orcom 740	. . . 4 ⊢ ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
49	47, 48	imbitrdi 161	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
50	6, 12, 18, 24, 31, 49	nnind 9299	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
51	50	orcomd 741	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342

This theorem is referenced by:  nneo  9728  zeo  9730