Theorem pfxwrdsymbg 11144

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	|- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11130	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )
2		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> S e. Word A )
3		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. NN0 )
4		elnn0uz 9688	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 <-> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6		eluzfz1 10155	. . . . 5 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L <_ (♯ ` S ) )
9		lencl 11000	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
10	9	nn0zd 9495	. . . . . . 7 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
12		elfz5 10141	. . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> L <_ (♯ ` S ) ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> L <_ (♯ ` S ) ) )
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) )
15		swrdwrdsymbg 11120	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ 0 e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
17		3mix3 1171	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) < L -> ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) )
19		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> S e. Word A )
20		0zd 9386	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> 0 e. ZZ )
21		nn0z 9394	. . . . . . . 8 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> L e. ZZ )
24		swrdnd 11115	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) ) )
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) )
27		wrd0 11021	. . . 4 |- (/) e. Word ( S " ( 0..^ L ) )
28	26, 27	eqeltrdi 2296	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
29	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
30		zlelttric 9419	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> ( L <_ (♯ ` S ) \/ (♯ ` S ) < L ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( L <_ (♯ ` S ) \/ (♯ ` S ) < L ) )
32	16, 28, 31	mpjaodan 800	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
33	1, 32	eqeltrd 2282	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   (/)c0 3460   <.cop 3636   class class class wbr 4045   "cima 4679   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   0cc0 7927   < clt 8109   <_ cle 8110   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132  ..^cfzo 10266  ♯chash 10922  Word cword 10996   substr csubstr 11101   prefix cpfx 11128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-ihash 10923  df-word 10997  df-substr 11102  df-pfx 11129

This theorem is referenced by: (None)