Theorem pfxwrdsymbg 11270

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	|- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11254	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )
2		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> S e. Word A )
3		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. NN0 )
4		elnn0uz 9793	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 <-> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6		eluzfz1 10265	. . . . 5 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L <_ (♯ ` S ) )
9		lencl 11116	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
10	9	nn0zd 9599	. . . . . . 7 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
12		elfz5 10251	. . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> L <_ (♯ ` S ) ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> L <_ (♯ ` S ) ) )
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) )
15		swrdwrdsymbg 11244	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ 0 e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
17		3mix3 1194	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) < L -> ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) )
19		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> S e. Word A )
20		0zd 9490	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> 0 e. ZZ )
21		nn0z 9498	. . . . . . . 8 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> L e. ZZ )
24		swrdnd 11239	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) ) )
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) )
27		wrd0 11137	. . . 4 |- (/) e. Word ( S " ( 0..^ L ) )
28	26, 27	eqeltrdi 2322	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
29	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
30		zlelttric 9523	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> ( L <_ (♯ ` S ) \/ (♯ ` S ) < L ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( L <_ (♯ ` S ) \/ (♯ ` S ) < L ) )
32	16, 28, 31	mpjaodan 805	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
33	1, 32	eqeltrd 2308	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494   <.cop 3672   class class class wbr 4088   "cima 4728   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   < clt 8213   <_ cle 8214   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112   substr csubstr 11225   prefix cpfx 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-substr 11226  df-pfx 11253

This theorem is referenced by:  wlkres  16229