Theorem pfxwrdsymbg 11462

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	|- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11446	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )
2		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> S e. Word A )
3		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. NN0 )
4		elnn0uz 9960	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 <-> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6		eluzfz1 10435	. . . . 5 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L <_ (♯ ` S ) )
9		lencl 11308	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
10	9	nn0zd 9766	. . . . . . 7 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. ZZ )
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
12		elfz5 10420	. . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> L <_ (♯ ` S ) ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> L <_ (♯ ` S ) ) )
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) )
15		swrdwrdsymbg 11436	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ 0 e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
17		3mix3 1199	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) < L -> ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) )
19		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> S e. Word A )
20		0zd 9656	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> 0 e. ZZ )
21		nn0z 9664	. . . . . . . 8 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> L e. ZZ )
24		swrdnd 11431	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( ( 0 < 0 \/ L <_ 0 \/ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) ) )
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = (/) )
27		wrd0 11329	. . . 4 |- (/) e. Word ( S " ( 0..^ L ) )
28	26, 27	eqeltrdi 2329	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) /\ (♯ ` S ) < L ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
29	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
30		zlelttric 9689	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> ( L <_ (♯ ` S ) \/ (♯ ` S ) < L ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( L <_ (♯ ` S ) \/ (♯ ` S ) < L ) )
32	16, 28, 31	mpjaodan 810	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )
33	1, 32	eqeltrd 2315	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word ( S " ( 0..^ L ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   <.cop 3712   class class class wbr 4130   "cima 4777   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   < clt 8360   <_ cle 8361   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304   substr csubstr 11417   prefix cpfx 11444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-substr 11418  df-pfx 11445

This theorem is used by:  wlkres  16620