Theorem pfxwrdsymbg 11407

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11391	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
3		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 9910	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eluzfz1 10385	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
9		lencl 11253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12		elfz5 10370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
15		swrdwrdsymbg 11381	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
17		3mix3 1195	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
19		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
20		0zd 9606	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
21		nn0z 9614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
24		swrdnd 11376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅)
27		wrd0 11274	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿))
28	26, 27	eqeltrdi 2325	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
29	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
30		zlelttric 9639	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
32	16, 28, 31	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
33	1, 32	eqeltrd 2311	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   “ cima 4757  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   substr csubstr 11362   prefix cpfx 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-substr 11363  df-pfx 11390

This theorem is referenced by:  wlkres  16500