Theorem pfxwrdsymbg 11382

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11366	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
3		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 9892	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eluzfz1 10365	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
9		lencl 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12		elfz5 10351	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
15		swrdwrdsymbg 11356	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
17		3mix3 1195	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
19		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
20		0zd 9589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
21		nn0z 9597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
24		swrdnd 11351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅)
27		wrd0 11249	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿))
28	26, 27	eqeltrdi 2323	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
29	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
30		zlelttric 9622	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
32	16, 28, 31	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
33	1, 32	eqeltrd 2309	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∅c0 3508  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109   “ cima 4752  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224   substr csubstr 11337   prefix cpfx 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-substr 11338  df-pfx 11365

This theorem is referenced by:  wlkres  16374