Theorem pfxwrdsymbg 11337

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11321	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
3		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 9855	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eluzfz1 10328	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
9		lencl 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12		elfz5 10314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
15		swrdwrdsymbg 11311	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
17		3mix3 1195	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
19		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
20		0zd 9552	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
21		nn0z 9560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
24		swrdnd 11306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅)
27		wrd0 11204	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿))
28	26, 27	eqeltrdi 2322	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
29	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
30		zlelttric 9585	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
32	16, 28, 31	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
33	1, 32	eqeltrd 2308	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∅c0 3496  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093   “ cima 4734  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8092   < clt 8273   ≤ cle 8274  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816  ...cfz 10305  ..^cfzo 10439  ♯chash 11100  Word cword 11179   substr csubstr 11292   prefix cpfx 11319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-ihash 11101  df-word 11180  df-substr 11293  df-pfx 11320

This theorem is referenced by:  wlkres  16320