Theorem pfxwrdsymbg 11181

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11165	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
3		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 9721	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eluzfz1 10188	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
9		lencl 11035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12		elfz5 10174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
15		swrdwrdsymbg 11155	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
17		3mix3 1171	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
19		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
20		0zd 9419	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
21		nn0z 9427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
24		swrdnd 11150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅)
27		wrd0 11056	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿))
28	26, 27	eqeltrdi 2298	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
29	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
30		zlelttric 9452	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
32	16, 28, 31	mpjaodan 800	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
33	1, 32	eqeltrd 2284	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∅c0 3468  ⟨cop 3646   class class class wbr 4059   “ cima 4696  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  0cc0 7960   < clt 8142   ≤ cle 8143  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  ...cfz 10165  ..^cfzo 10299  ♯chash 10957  Word cword 11031   substr csubstr 11136   prefix cpfx 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-substr 11137  df-pfx 11164

This theorem is referenced by: (None)