Theorem pfxwrdsymbg 11222

Description: A prefix of a word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxwrdsymbg	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem pfxwrdsymbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 11206	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
3		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 9760	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eluzfz1 10227	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
9		lencl 11075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12		elfz5 10213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
15		swrdwrdsymbg 11196	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
16	2, 7, 14, 15	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
17		3mix3 1192	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
19		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
20		0zd 9458	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
21		nn0z 9466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
24		swrdnd 11191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
25	19, 20, 23, 24	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
26	18, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅)
27		wrd0 11096	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿))
28	26, 27	eqeltrdi 2320	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
29	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
30		zlelttric 9491	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑆) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
32	16, 28, 31	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))
33	1, 32	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word (𝑆 “ (0..^𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083   “ cima 4722  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  0cc0 7999   < clt 8181   ≤ cle 8182  ℕ₀cn0 9369  ℤcz 9446  ℤ_≥cuz 9722  ...cfz 10204  ..^cfzo 10338  ♯chash 10997  Word cword 11071   substr csubstr 11177   prefix cpfx 11204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-substr 11178  df-pfx 11205

This theorem is referenced by: (None)