Theorem psrbagfi 14479

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		elmapi 6764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
3	2	fdmd 5438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → dom 𝑓 = 𝐼)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 = 𝐼)
5		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
6	4, 5	eqeltrd 2283	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 ∈ Fin)
7		cnvimass 5050	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓)
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ dom 𝑓)
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → dom 𝑓 = 𝐼)
12	10, 11	eleqtrd 2285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	9, 12	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℤ)
15		elnndc 9740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℤ → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
17		elmapfn 6765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓 Fn 𝐼)
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓 Fn 𝐼)
19		elpreima 5706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐼 → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
22	21	dcbid 840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
24	23	ralrimiva 2580	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
25		ssfidc 7041	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
27	26	ralrimiva 2580	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
28		rabid2 2684	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
30	1, 29	eqtr4id 2258	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  {crab 2489   ⊆ wss 3167  ^◡ccnv 4678  dom cdm 4679   “ cima 4682   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ↑_𝑚 cmap 6742  Fincfn 6834  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1o 6509  df-er 6627  df-map 6744  df-en 6835  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14482  mplsubgfilemm  14504  mpl0fi  14508