Theorem psrbagfi 14307

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		elmapi 6738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
3	2	fdmd 5417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → dom 𝑓 = 𝐼)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 = 𝐼)
5		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
6	4, 5	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 ∈ Fin)
7		cnvimass 5033	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓)
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ dom 𝑓)
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → dom 𝑓 = 𝐼)
12	10, 11	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	9, 12	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℤ)
15		elnndc 9705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℤ → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
17		elmapfn 6739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓 Fn 𝐼)
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓 Fn 𝐼)
19		elpreima 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐼 → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
22	21	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
24	23	ralrimiva 2570	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
25		ssfidc 7007	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
27	26	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
28		rabid2 2674	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
30	1, 29	eqtr4id 2248	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479   ⊆ wss 3157  ^◡ccnv 4663  dom cdm 4664   “ cima 4667   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  Fincfn 6808  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14310  mplsubgfilemm  14332  mpl0fi  14336