Theorem psrbagfi 14602

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		elmapi 6787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
3	2	fdmd 5456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → dom 𝑓 = 𝐼)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 = 𝐼)
5		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
6	4, 5	eqeltrd 2286	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 ∈ Fin)
7		cnvimass 5067	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓)
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ dom 𝑓)
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → dom 𝑓 = 𝐼)
12	10, 11	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	9, 12	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℤ)
15		elnndc 9775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℤ → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
17		elmapfn 6788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓 Fn 𝐼)
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓 Fn 𝐼)
19		elpreima 5727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐼 → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
22	21	dcbid 842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
24	23	ralrimiva 2583	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
25		ssfidc 7067	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
27	26	ralrimiva 2583	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
28		rabid2 2688	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
30	1, 29	eqtr4id 2261	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 838   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  {crab 2492   ⊆ wss 3177  ^◡ccnv 4695  dom cdm 4696   “ cima 4699   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765  Fincfn 6857  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1o 6532  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14605  mplsubgfilemm  14627  mpl0fi  14631