Theorem psrbagfi 14658

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		elmapi 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
3	2	fdmd 5483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → dom 𝑓 = 𝐼)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 = 𝐼)
5		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
6	4, 5	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 ∈ Fin)
7		cnvimass 5094	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓)
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ dom 𝑓)
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → dom 𝑓 = 𝐼)
12	10, 11	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	9, 12	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℤ)
15		elnndc 9824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℤ → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
17		elmapfn 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓 Fn 𝐼)
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓 Fn 𝐼)
19		elpreima 5759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐼 → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
22	21	dcbid 843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
24	23	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
25		ssfidc 7115	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
27	26	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
28		rabid2 2708	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
30	1, 29	eqtr4id 2281	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512   ⊆ wss 3197  ^◡ccnv 4719  dom cdm 4720   “ cima 4723   Fn wfn 5316  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ↑_𝑚 cmap 6808  Fincfn 6900  ℕcn 9126  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14661  mplsubgfilemm  14683  mpl0fi  14687