Theorem psrbagfi 14680

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		elmapi 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
3	2	fdmd 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → dom 𝑓 = 𝐼)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 = 𝐼)
5		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
6	4, 5	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → dom 𝑓 ∈ Fin)
7		cnvimass 5097	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓)
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ dom 𝑓)
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → dom 𝑓 = 𝐼)
12	10, 11	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	9, 12	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℤ)
15		elnndc 9839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℤ → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
17		elmapfn 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑓 Fn 𝐼)
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → 𝑓 Fn 𝐼)
19		elpreima 5762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐼 → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)))
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
22	21	dcbid 843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → (DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ) ↔ DECID (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓) → DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
24	23	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ))
25		ssfidc 7124	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑓DECID 𝑥 ∈ (◡𝑓 “ ℕ)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
27	26	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
28		rabid2 2708	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
30	1, 29	eqtr4id 2281	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512   ⊆ wss 3198  ^◡ccnv 4722  dom cdm 4723   “ cima 4726   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↑_𝑚 cmap 6812  Fincfn 6904  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1o 6577  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14683  mplsubgfilemm  14705  mpl0fi  14709