Theorem psrnegcl 14700

Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrnegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrnegcl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		psrnegcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
3		psrgrp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 2, 3	grpinvf1o 13655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5		f1of 5583	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7		psrgrp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		psrnegcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psrnegcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psrnegcl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 1, 8, 9, 10	psrelbas 14692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12		fco 5500	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
13	6, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14		basfn 13143	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
15	3	elexd 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		funfvex 5656	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
17	16	funfni 5432	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	14, 15, 17	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
19		fnmap 6824	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
20		nn0ex 9408	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		psrgrp.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	21	elexd 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		fnovex 6051	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	19, 20, 22, 23	mp3an12i 1377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25	8, 24	rabexd 4235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
26	18, 25	elmapd 6831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅)))
27	13, 26	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
28	7, 1, 8, 9, 21, 3	psrbasg 14691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
29	27, 28	eleqtrrd 2311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  Vcvv 2802   × cxp 4723  ^◡ccnv 4724   “ cima 4728   ∘ ccom 4729   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817  Fincfn 6909  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  Basecbs 13084  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586   mPwSer cmps 14678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-tset 13181  df-rest 13326  df-topn 13327  df-0g 13343  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-psr 14680

This theorem is referenced by:  psrlinv  14701  psrneg  14704  mplsubgfileminv  14717