Theorem psrnegcl 14560

Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrnegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrnegcl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		psrnegcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
3		psrgrp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 2, 3	grpinvf1o 13517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5		f1of 5544	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7		psrgrp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		psrnegcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psrnegcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psrnegcl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 1, 8, 9, 10	psrelbas 14552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12		fco 5461	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
13	6, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14		basfn 13005	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
15	3	elexd 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		funfvex 5616	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
17	16	funfni 5395	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	14, 15, 17	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
19		fnmap 6765	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
20		nn0ex 9336	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		psrgrp.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	21	elexd 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		fnovex 6000	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	19, 20, 22, 23	mp3an12i 1354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25	8, 24	rabexd 4205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
26	18, 25	elmapd 6772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅)))
27	13, 26	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
28	7, 1, 8, 9, 21, 3	psrbasg 14551	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
29	27, 28	eleqtrrd 2287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {crab 2490  Vcvv 2776   × cxp 4691  ^◡ccnv 4692   “ cima 4696   ∘ ccom 4697   Fn wfn 5285  ⟶wf 5286  –1-1-onto→wf1o 5289  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ↑_𝑚 cmap 6758  Fincfn 6850  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  Basecbs 12947  Grpcgrp 13447  inv_gcminusg 13448   mPwSer cmps 14538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-ixp 6809  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-tset 13043  df-rest 13188  df-topn 13189  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-psr 14540

This theorem is referenced by:  psrlinv  14561  psrneg  14564  mplsubgfileminv  14577