Theorem psrnegcl 14726

Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrnegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrnegcl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		psrnegcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
3		psrgrp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 2, 3	grpinvf1o 13676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5		f1of 5586	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7		psrgrp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		psrnegcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psrnegcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psrnegcl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 1, 8, 9, 10	psrelbas 14718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12		fco 5502	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
13	6, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14		basfn 13164	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
15	3	elexd 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		funfvex 5659	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
17	16	funfni 5434	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	14, 15, 17	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
19		fnmap 6829	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
20		nn0ex 9413	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		psrgrp.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	21	elexd 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		fnovex 6056	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	19, 20, 22, 23	mp3an12i 1377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25	8, 24	rabexd 4236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
26	18, 25	elmapd 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅)))
27	13, 26	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
28	7, 1, 8, 9, 21, 3	psrbasg 14717	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
29	27, 28	eleqtrrd 2310	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  {crab 2513  Vcvv 2801   × cxp 4725  ^◡ccnv 4726   “ cima 4730   ∘ ccom 4731   Fn wfn 5323  ⟶wf 5324  –1-1-onto→wf1o 5327  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023   ↑_𝑚 cmap 6822  Fincfn 6914  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407  Basecbs 13105  Grpcgrp 13606  inv_gcminusg 13607   mPwSer cmps 14699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-tset 13202  df-rest 13347  df-topn 13348  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-psr 14701

This theorem is referenced by:  psrlinv  14727  psrneg  14730  mplsubgfileminv  14743