Theorem pwsval 13376

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		elex 2814	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
4		elex 2814	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
6		pwsval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
7		scaslid 13238	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 13111	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
9	6, 8	eqeltrid 2318	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		snexg 4274	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ∈ V)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ∈ V)
14		xpexg 4840	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
16		prdsex 13354	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝐼 × {𝑅}) ∈ V) → (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V)
17	10, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V)
18		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑟 = 𝑅)
19	18	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
20	19, 6	eqtr4di 2282	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = 𝐹)
21		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → 𝑖 = 𝐼)
22		sneq 3680	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {𝑟} = {𝑅})
23		xpeq12 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ {𝑟} = {𝑅}) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
24	21, 22, 23	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
25	20, 24	oveq12d 6036	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
26		df-pws 13375	. . . 4 ⊢ ↑s = (𝑟 ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})))
27	25, 26	ovmpoga 6151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V ∧ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
28	3, 5, 17, 27	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
29	1, 28	eqtrid 2276	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  {csn 3669   × cxp 4723  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Scalarcsca 13165  X_scprds 13350   ↑_s cpws 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-sup 7183  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-hom 13186  df-cco 13187  df-rest 13326  df-topn 13327  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-prds 13352  df-pws 13375

This theorem is referenced by:  pwsbas  13377  pwsplusgval  13380  pwsmulrval  13381  pwsmnd  13535  pws0g  13536  pwsgrp  13696  pwsinvg  13697