Theorem pwsval 13397

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		elex 2813	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
4		elex 2813	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
6		pwsval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
7		scaslid 13259	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 13132	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
9	6, 8	eqeltrid 2317	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		snexg 4276	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ∈ V)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ∈ V)
14		xpexg 4842	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
16		prdsex 13375	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝐼 × {𝑅}) ∈ V) → (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V)
17	10, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V)
18		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑟 = 𝑅)
19	18	fveq2d 5646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
20	19, 6	eqtr4di 2281	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = 𝐹)
21		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → 𝑖 = 𝐼)
22		sneq 3681	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {𝑟} = {𝑅})
23		xpeq12 4746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ {𝑟} = {𝑅}) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
24	21, 22, 23	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
25	20, 24	oveq12d 6041	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
26		df-pws 13396	. . . 4 ⊢ ↑s = (𝑟 ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})))
27	25, 26	ovmpoga 6156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V ∧ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
28	3, 5, 17, 27	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
29	1, 28	eqtrid 2275	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801  {csn 3670   × cxp 4725  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Scalarcsca 13186  X_scprds 13371   ↑_s cpws 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-sup 7188  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-hom 13207  df-cco 13208  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-prds 13373  df-pws 13396

This theorem is referenced by:  pwsbas  13398  pwsplusgval  13401  pwsmulrval  13402  pwsmnd  13556  pws0g  13557  pwsgrp  13717  pwsinvg  13718