ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdceq GIF version

Theorem qdceq 10146
Description: Equality of rationals is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qdceq ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem qdceq
StepHypRef Expression
1 qtri3or 10142 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 qre 9534 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ltne 7962 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
43necomd 2413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
5 olc 701 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
6 dcne 2338 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
75, 6sylibr 133 . . . . . . 7 (𝐴𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
84, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
98ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
109adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
112, 10sylan 281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
12 orc 702 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1312, 6sylibr 133 . . . 4 (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
15 qre 9534 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
16 ltne 7962 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴𝐵)
1716, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
1817ex 114 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
1915, 18syl 14 . . . 4 (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2019adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2111, 14, 203jaod 1286 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
221, 21mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698  DECID wdc 820  w3o 962   = wceq 1335  wcel 2128  wne 2327   class class class wbr 3965  cr 7731   < clt 7912  cq 9528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561
This theorem is referenced by:  flqeqceilz  10217  qnnen  12171  apdifflemr  13629
  Copyright terms: Public domain W3C validator