Theorem qdceq 10424

Description: Equality of rationals is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qdceq	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem qdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtri3or 10420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		qre 9781	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltne 8192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		olc 713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
6		dcne 2389	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
11	2, 10	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
12		orc 714	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 = 𝐵))
15		qre 9781	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
16		ltne 8192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
19	15, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	11, 14, 20	3jaod 1317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	1, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378   class class class wbr 4059  ℝcr 7959   < clt 8142  ℚcq 9775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-q 9776  df-rp 9811

This theorem is referenced by:  flqeqceilz  10500  bitsinv1lem  12387  pcxcl  12749  pcxqcl  12750  pcaddlem  12777  pcadd  12778  qexpz  12790  qnnen  12917  apdifflemr  16188