ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdceq GIF version

Theorem qdceq 10244
Description: Equality of rationals is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qdceq ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem qdceq
StepHypRef Expression
1 qtri3or 10240 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 qre 9623 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ltne 8040 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
43necomd 2433 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
5 olc 711 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
6 dcne 2358 . . . . . . . 8 (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
75, 6sylibr 134 . . . . . . 7 (𝐴𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
84, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → DECID 𝐴 = 𝐵)
98ex 115 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
109adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
112, 10sylan 283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
12 orc 712 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1312, 6sylibr 134 . . . 4 (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 = 𝐵))
15 qre 9623 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
16 ltne 8040 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴𝐵)
1716, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
1817ex 115 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
1915, 18syl 14 . . . 4 (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2019adantl 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 = 𝐵))
2111, 14, 203jaod 1304 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵))
221, 21mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4003  cr 7809   < clt 7990  cq 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-q 9618  df-rp 9652
This theorem is referenced by:  flqeqceilz  10315  pcxcl  12305  pcaddlem  12332  pcadd  12333  qexpz  12344  qnnen  12426  apdifflemr  14715
  Copyright terms: Public domain W3C validator