Theorem divdenle 12072

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 12071	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( (numer ` ( A / B ) ) = ( A / ( A gcd B ) ) /\ (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) ) )
2	1	simprd 113	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) )
3		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
4		nnz 9186	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
6		nnne0 8861	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
7	6	neneqd 2348	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> -. B = 0 )
8	7	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. B = 0 )
9	8	intnand 917	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
10		gcdn0cl 11846	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 1219	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
12	11	nnge1d 8876	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 <_ ( A gcd B ) )
13		1red 7893	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 e. RR )
14		0lt1 8002	. . . . . 6 |- 0 < 1
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < 1 )
16	11	nnred 8846	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. RR )
17	11	nngt0d 8877	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < ( A gcd B ) )
18		nnre 8840	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. RR )
19	18	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. RR )
20		nngt0 8858	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 < B )
21	20	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
22		lediv2 8762	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A gcd B ) e. RR /\ 0 < ( A gcd B ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1236	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
24	12, 23	mpbid 146	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) )
25		nncn 8841	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. CC )
26	25	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. CC )
27	26	div1d 8653	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / 1 ) = B )
28	24, 27	breqtrd 3990	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ B )
29	2, 28	eqbrtrd 3986	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733   < clt 7912   <_ cle 7913   / cdiv 8545   NNcn 8833   ZZcz 9167   gcd cgcd 11829  numercnumer 12056  denomcdenom 12057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-gcd 11830  df-numer 12058  df-denom 12059

This theorem is referenced by:  qden1elz  12080