Theorem divdenle 12211

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 12210	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( (numer ` ( A / B ) ) = ( A / ( A gcd B ) ) /\ (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) ) )
2	1	simprd 114	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
4		nnz 9286	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
6		nnne0 8961	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
7	6	neneqd 2378	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> -. B = 0 )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. B = 0 )
9	8	intnand 932	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
10		gcdn0cl 11977	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 1247	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
12	11	nnge1d 8976	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 <_ ( A gcd B ) )
13		1red 7986	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 e. RR )
14		0lt1 8098	. . . . . 6 |- 0 < 1
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < 1 )
16	11	nnred 8946	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. RR )
17	11	nngt0d 8977	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < ( A gcd B ) )
18		nnre 8940	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. RR )
20		nngt0 8958	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 < B )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
22		lediv2 8862	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A gcd B ) e. RR /\ 0 < ( A gcd B ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1264	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
24	12, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) )
25		nncn 8941	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. CC )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. CC )
27	26	div1d 8751	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / 1 ) = B )
28	24, 27	breqtrd 4041	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ B )
29	2, 28	eqbrtrd 4037	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   1c1 7826   < clt 8006   <_ cle 8007   / cdiv 8643   NNcn 8933   ZZcz 9267   gcd cgcd 11957  numercnumer 12195  denomcdenom 12196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-numer 12197  df-denom 12198

This theorem is referenced by:  qden1elz  12219