Theorem divdenle 12894

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 12893	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( (numer ` ( A / B ) ) = ( A / ( A gcd B ) ) /\ (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) ) )
2	1	simprd 114	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
4		nnz 9596	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
6		nnne0 9265	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
7	6	neneqd 2433	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> -. B = 0 )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. B = 0 )
9	8	intnand 939	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
10		gcdn0cl 12658	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 1273	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
12	11	nnge1d 9280	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 <_ ( A gcd B ) )
13		1red 8289	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 e. RR )
14		0lt1 8400	. . . . . 6 |- 0 < 1
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < 1 )
16	11	nnred 9250	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. RR )
17	11	nngt0d 9281	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < ( A gcd B ) )
18		nnre 9244	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. RR )
20		nngt0 9262	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 < B )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
22		lediv2 9165	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A gcd B ) e. RR /\ 0 < ( A gcd B ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1290	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
24	12, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) )
25		nncn 9245	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. CC )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. CC )
27	26	div1d 9054	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / 1 ) = B )
28	24, 27	breqtrd 4135	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ B )
29	2, 28	eqbrtrd 4131	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   < clt 8308   <_ cle 8309   / cdiv 8946   NNcn 9237   ZZcz 9577   gcd cgcd 12649  numercnumer 12878  denomcdenom 12879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-numer 12880  df-denom 12881

This theorem is referenced by:  qden1elz  12902