Theorem divdenle 12151

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 12150	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( (numer ` ( A / B ) ) = ( A / ( A gcd B ) ) /\ (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) ) )
2	1	simprd 113	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) )
3		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
4		nnz 9231	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
6		nnne0 8906	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
7	6	neneqd 2361	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> -. B = 0 )
8	7	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. B = 0 )
9	8	intnand 926	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
10		gcdn0cl 11917	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 1232	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
12	11	nnge1d 8921	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 <_ ( A gcd B ) )
13		1red 7935	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 e. RR )
14		0lt1 8046	. . . . . 6 |- 0 < 1
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < 1 )
16	11	nnred 8891	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. RR )
17	11	nngt0d 8922	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < ( A gcd B ) )
18		nnre 8885	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. RR )
19	18	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. RR )
20		nngt0 8903	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 < B )
21	20	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
22		lediv2 8807	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A gcd B ) e. RR /\ 0 < ( A gcd B ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1249	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
24	12, 23	mpbid 146	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) )
25		nncn 8886	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. CC )
26	25	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. CC )
27	26	div1d 8697	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / 1 ) = B )
28	24, 27	breqtrd 4015	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ B )
29	2, 28	eqbrtrd 4011	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   < clt 7954   <_ cle 7955   / cdiv 8589   NNcn 8878   ZZcz 9212   gcd cgcd 11897  numercnumer 12135  denomcdenom 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-numer 12137  df-denom 12138

This theorem is referenced by:  qden1elz  12159