ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdenle Unicode version

Theorem divdenle 12072
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )

Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 12071 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( A  /  B ) )  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  /\  (denom `  ( A  /  B
) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
21simprd 113 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )
3 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4 nnz 9186 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
54adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
6 nnne0 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
76neneqd 2348 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  B  =  0 )
87adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  B  =  0 )
98intnand 917 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
10 gcdn0cl 11846 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
113, 5, 9, 10syl21anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN )
1211nnge1d 8876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  ( A  gcd  B ) )
13 1red 7893 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
14 0lt1 8002 . . . . . 6  |-  0  <  1
1514a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  1 )
1611nnred 8846 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
1711nngt0d 8877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  gcd  B ) )
18 nnre 8840 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1918adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
20 nngt0 8858 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
2120adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
22 lediv2 8762 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  gcd  B
) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1236 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2412, 23mpbid 146 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  / 
1 ) )
25 nncn 8841 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
2625adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
2726div1d 8653 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  1
)  =  B )
2824, 27breqtrd 3990 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  B )
292, 28eqbrtrd 3986 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733    < clt 7912    <_ cle 7913    / cdiv 8545   NNcn 8833   ZZcz 9167    gcd cgcd 11829  numercnumer 12056  denomcdenom 12057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-gcd 11830  df-numer 12058  df-denom 12059
This theorem is referenced by:  qden1elz  12080
  Copyright terms: Public domain W3C validator