Theorem divdenle 12376

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 12375	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( (numer ` ( A / B ) ) = ( A / ( A gcd B ) ) /\ (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) ) )
2	1	simprd 114	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) = ( B / ( A gcd B ) ) )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
4		nnz 9348	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
6		nnne0 9021	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
7	6	neneqd 2388	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> -. B = 0 )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. B = 0 )
9	8	intnand 932	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
10		gcdn0cl 12140	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 1248	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
12	11	nnge1d 9036	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 <_ ( A gcd B ) )
13		1red 8044	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 1 e. RR )
14		0lt1 8156	. . . . . 6 |- 0 < 1
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < 1 )
16	11	nnred 9006	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. RR )
17	11	nngt0d 9037	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < ( A gcd B ) )
18		nnre 9000	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. RR )
20		nngt0 9018	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> 0 < B )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
22		lediv2 8921	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A gcd B ) e. RR /\ 0 < ( A gcd B ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1265	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ ( A gcd B ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) ) )
24	12, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ ( B / 1 ) )
25		nncn 9001	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. CC )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. CC )
27	26	div1d 8810	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / 1 ) = B )
28	24, 27	breqtrd 4060	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) <_ B )
29	2, 28	eqbrtrd 4056	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> (denom ` ( A / B ) ) <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7880   RRcr 7881   0cc0 7882   1c1 7883   < clt 8064   <_ cle 8065   / cdiv 8702   NNcn 8993   ZZcz 9329   gcd cgcd 12131  numercnumer 12360  denomcdenom 12361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-sup 7052  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-fl 10363  df-mod 10418  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-dvds 11956  df-gcd 12132  df-numer 12362  df-denom 12363

This theorem is referenced by:  qden1elz  12384