ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdenle Unicode version

Theorem divdenle 10969
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )

Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 10968 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( A  /  B ) )  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  /\  (denom `  ( A  /  B
) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
21simprd 112 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )
3 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4 nnz 8679 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
54adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
6 nnne0 8362 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
76neneqd 2272 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  B  =  0 )
87adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  B  =  0 )
98intnand 876 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
10 gcdn0cl 10748 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
113, 5, 9, 10syl21anc 1171 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN )
1211nnge1d 8376 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  ( A  gcd  B ) )
13 1red 7424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
14 0lt1 7531 . . . . . 6  |-  0  <  1
1514a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  1 )
1611nnred 8347 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
1711nngt0d 8377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  gcd  B ) )
18 nnre 8341 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1918adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
20 nngt0 8359 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
2120adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
22 lediv2 8264 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  gcd  B
) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2412, 23mpbid 145 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  / 
1 ) )
25 nncn 8342 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
2625adantl 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
2726div1d 8163 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  1
)  =  B )
2824, 27breqtrd 3838 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  B )
292, 28eqbrtrd 3834 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   class class class wbr 3814   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   CCcc 7269   RRcr 7270   0cc0 7271   1c1 7272    < clt 7443    <_ cle 7444    / cdiv 8055   NNcn 8334   ZZcz 8660    gcd cgcd 10732  numercnumer 10953  denomcdenom 10954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-sup 6600  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-fl 9580  df-mod 9633  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273  df-dvds 10591  df-gcd 10733  df-numer 10955  df-denom 10956
This theorem is referenced by:  qden1elz  10977
  Copyright terms: Public domain W3C validator