Theorem nn0sqrtelqelz 12160

Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqrtelqelz	|- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 12143	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
3	2	nnred 8891	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
4		1red 7935	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 1 e. RR )
5	2	nnnn0d 9188	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN0 )
6	5	nn0ge0d 9191	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ (denom ` ( sqr ` A ) ) )
7		0le1 8400	. . . 4 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ 1 )
9		sq1 10569	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
11		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. NN0 )
12	11	nn0red 9189	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. RR )
13	11	nn0ge0d 9191	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ A )
14		resqrtth 10995	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
16	15	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = (denom ` A ) )
17		nn0z 9232	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
18	11, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. ZZ )
19		zq 9585	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN0 -> A e. QQ )
21	11, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. QQ )
22		qden1elz 12159	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
24	18, 23	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` A ) = 1 )
25	16, 24	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
26		densq 12158	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
27	26	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
28	10, 25, 27	3eqtr2rd 2210	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
29	3, 4, 6, 8, 28	sq11d 10642	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 )
30		qden1elz 12159	. . 3 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
31	30	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
32	29, 31	mpbid 146	1 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   <_ cle 7955   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   QQcq 9578   ^cexp 10475   sqrcsqrt 10960  denomcdenom 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-numer 12137  df-denom 12138

This theorem is referenced by:  nonsq  12161