ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0sqrtelqelz Unicode version
Theorem nn0sqrtelqelz 12777
Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
nn0sqrtelqelz |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )
Proof of Theorem nn0sqrtelqelz
StepHypRef Expression
1 qdencl 12760 . . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
21adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
32nnred 9155 . . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
4 1red 8193 . . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 1 e. RR )
52nnnn0d 9454 . . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN0 )
65nn0ge0d 9457 . . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ (denom ` ( sqr ` A ) ) )
7 0le1 8660 . . . 4 |- 0 <_ 1
87a1i 9 . . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ 1 )
9 sq1 10894 . . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
109a1i 9 . . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
11 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. NN0 )
1211nn0red 9455 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. RR )
1311nn0ge0d 9457 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ A )
14 resqrtth 11591 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
1615fveq2d 5643 . . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = (denom ` A ) )
17 nn0z 9498 . . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
1811, 17syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. ZZ )
19 zq 9859 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
2017, 19syl 14 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN0 -> A e. QQ )
2111, 20syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. QQ )
22 qden1elz 12776 . . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
2321, 22syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
2418, 23mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` A ) = 1 )
2516, 24eqtrd 2264 . . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
26 densq 12775 . . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
2726adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
2810, 25, 273eqtr2rd 2271 . . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
293, 4, 6, 8, 28sq11d 10967 . 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 )
30 qden1elz 12776 . . 3 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
3130adantl 277 . 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
3229, 31mpbid 147 1 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   <_ cle 8214   NNcn 9142   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   QQcq 9852   ^cexp 10799   sqrcsqrt 11556  denomcdenom 12753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524  df-numer 12754  df-denom 12755
This theorem is referenced by:  nonsq  12778
  Copyright terms: Public domain W3C validator