ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0sqrtelqelz Unicode version

Theorem nn0sqrtelqelz 12132
Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
nn0sqrtelqelz  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
( sqr `  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz
StepHypRef Expression
1 qdencl 12115 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  A )  e.  QQ  ->  (denom `  ( sqr `  A
) )  e.  NN )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  ( sqr `  A ) )  e.  NN )
32nnred 8864 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
4 1red 7908 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
1  e.  RR )
52nnnn0d 9161 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  ( sqr `  A ) )  e. 
NN0 )
65nn0ge0d 9164 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
0  <_  (denom `  ( sqr `  A ) ) )
7 0le1 8373 . . . 4  |-  0  <_  1
87a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
0  <_  1 )
9 sq1 10542 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
109a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
( 1 ^ 2 )  =  1 )
11 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  ->  A  e.  NN0 )
1211nn0red 9162 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  ->  A  e.  RR )
1311nn0ge0d 9164 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
0  <_  A )
14 resqrtth 10967 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
1512, 13, 14syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
1615fveq2d 5487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  ( ( sqr `  A ) ^
2 ) )  =  (denom `  A )
)
17 nn0z 9205 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
1811, 17syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  ->  A  e.  ZZ )
19 zq 9558 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
2017, 19syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  QQ )
2111, 20syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  ->  A  e.  QQ )
22 qden1elz 12131 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(denom `  A )  =  1  <->  A  e.  ZZ ) )
2321, 22syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
( (denom `  A
)  =  1  <->  A  e.  ZZ ) )
2418, 23mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  A )  =  1 )
2516, 24eqtrd 2197 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  ( ( sqr `  A ) ^
2 ) )  =  1 )
26 densq 12130 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  A )  e.  QQ  ->  (denom `  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( (denom `  ( sqr `  A
) ) ^ 2 ) )
2726adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  ( ( sqr `  A ) ^
2 ) )  =  ( (denom `  ( sqr `  A ) ) ^ 2 ) )
2810, 25, 273eqtr2rd 2204 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
( (denom `  ( sqr `  A ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
293, 4, 6, 8, 28sq11d 10615 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
(denom `  ( sqr `  A ) )  =  1 )
30 qden1elz 12131 . . 3  |-  ( ( sqr `  A )  e.  QQ  ->  (
(denom `  ( sqr `  A ) )  =  1  <->  ( sqr `  A
)  e.  ZZ ) )
3130adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
( (denom `  ( sqr `  A ) )  =  1  <->  ( sqr `  A )  e.  ZZ ) )
3229, 31mpbid 146 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( sqr `  A )  e.  QQ )  -> 
( sqr `  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1342    e. wcel 2135   class class class wbr 3979   ` cfv 5185  (class class class)co 5839   RRcr 7746   0cc0 7747   1c1 7748    <_ cle 7928   NNcn 8851   2c2 8902   NN0cn0 9108   ZZcz 9185   QQcq 9551   ^cexp 10448   sqrcsqrt 10932  denomcdenom 12108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866  ax-caucvg 7867
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-frec 6353  df-sup 6943  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-q 9552  df-rp 9584  df-fz 9939  df-fzo 10072  df-fl 10199  df-mod 10252  df-seqfrec 10375  df-exp 10449  df-cj 10778  df-re 10779  df-im 10780  df-rsqrt 10934  df-abs 10935  df-dvds 11722  df-gcd 11870  df-numer 12109  df-denom 12110
This theorem is referenced by:  nonsq  12133
  Copyright terms: Public domain W3C validator