Theorem nn0sqrtelqelz 12219

Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqrtelqelz	|- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 12202	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
3	2	nnred 8945	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
4		1red 7985	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 1 e. RR )
5	2	nnnn0d 9242	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN0 )
6	5	nn0ge0d 9245	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ (denom ` ( sqr ` A ) ) )
7		0le1 8451	. . . 4 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ 1 )
9		sq1 10627	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. NN0 )
12	11	nn0red 9243	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. RR )
13	11	nn0ge0d 9245	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ A )
14		resqrtth 11053	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
16	15	fveq2d 5531	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = (denom ` A ) )
17		nn0z 9286	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
18	11, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. ZZ )
19		zq 9639	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN0 -> A e. QQ )
21	11, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. QQ )
22		qden1elz 12218	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
24	18, 23	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` A ) = 1 )
25	16, 24	eqtrd 2220	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
26		densq 12217	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
27	26	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
28	10, 25, 27	3eqtr2rd 2227	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
29	3, 4, 6, 8, 28	sq11d 10700	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 )
30		qden1elz 12218	. . 3 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
31	30	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
32	29, 31	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823   0cc0 7824   1c1 7825   <_ cle 8006   NNcn 8932   2c2 8983   NN0cn0 9189   ZZcz 9266   QQcq 9632   ^cexp 10532   sqrcsqrt 11018  denomcdenom 12195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808  df-gcd 11957  df-numer 12196  df-denom 12197

This theorem is referenced by:  nonsq  12220