Theorem nn0sqrtelqelz 12226

Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqrtelqelz	|- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 12209	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
3	2	nnred 8952	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
4		1red 7992	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 1 e. RR )
5	2	nnnn0d 9249	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN0 )
6	5	nn0ge0d 9252	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ (denom ` ( sqr ` A ) ) )
7		0le1 8458	. . . 4 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ 1 )
9		sq1 10634	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. NN0 )
12	11	nn0red 9250	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. RR )
13	11	nn0ge0d 9252	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ A )
14		resqrtth 11060	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
16	15	fveq2d 5535	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = (denom ` A ) )
17		nn0z 9293	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
18	11, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. ZZ )
19		zq 9646	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN0 -> A e. QQ )
21	11, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. QQ )
22		qden1elz 12225	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
24	18, 23	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` A ) = 1 )
25	16, 24	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
26		densq 12224	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
27	26	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
28	10, 25, 27	3eqtr2rd 2229	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
29	3, 4, 6, 8, 28	sq11d 10707	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 )
30		qden1elz 12225	. . 3 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
31	30	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
32	29, 31	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   RRcr 7830   0cc0 7831   1c1 7832   <_ cle 8013   NNcn 8939   2c2 8990   NN0cn0 9196   ZZcz 9273   QQcq 9639   ^cexp 10539   sqrcsqrt 11025  denomcdenom 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-sup 7003  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-fl 10290  df-mod 10343  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-dvds 11815  df-gcd 11964  df-numer 12203  df-denom 12204

This theorem is referenced by:  nonsq  12227