Theorem nn0sqrtelqelz 12208

Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqrtelqelz	|- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 12191	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
3	2	nnred 8934	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
4		1red 7974	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 1 e. RR )
5	2	nnnn0d 9231	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN0 )
6	5	nn0ge0d 9234	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ (denom ` ( sqr ` A ) ) )
7		0le1 8440	. . . 4 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ 1 )
9		sq1 10616	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. NN0 )
12	11	nn0red 9232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. RR )
13	11	nn0ge0d 9234	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ A )
14		resqrtth 11042	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
16	15	fveq2d 5521	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = (denom ` A ) )
17		nn0z 9275	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
18	11, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. ZZ )
19		zq 9628	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN0 -> A e. QQ )
21	11, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. QQ )
22		qden1elz 12207	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
24	18, 23	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` A ) = 1 )
25	16, 24	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
26		densq 12206	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
27	26	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
28	10, 25, 27	3eqtr2rd 2217	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
29	3, 4, 6, 8, 28	sq11d 10689	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 )
30		qden1elz 12207	. . 3 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
31	30	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
32	29, 31	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN0 /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   <_ cle 7995   NNcn 8921   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   QQcq 9621   ^cexp 10521   sqrcsqrt 11007  denomcdenom 12184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-numer 12185  df-denom 12186

This theorem is referenced by:  nonsq  12209