ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rppwr Unicode version

Theorem rppwr 11739
Description: If  A and  B are relatively prime, then so are  A ^ N and  B ^ N. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rppwr  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( A ^ N )  gcd  ( B ^ N ) )  =  1 ) )

Proof of Theorem rppwr
StepHypRef Expression
1 simpl1 984 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  A  e.  NN )
2 simpl2 985 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  B  e.  NN )
3 simpl3 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 9049 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  N  e.  NN0 )
52, 4nnexpcld 10470 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( B ^ N )  e.  NN )
61, 5, 33jca 1161 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( A  e.  NN  /\  ( B ^ N )  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
71nnzd 9191 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
85nnzd 9191 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( B ^ N )  e.  ZZ )
9 gcdcom 11685 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B ^ N )  e.  ZZ )  -> 
( A  gcd  ( B ^ N ) )  =  ( ( B ^ N )  gcd 
A ) )
107, 8, 9syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( A  gcd  ( B ^ N ) )  =  ( ( B ^ N )  gcd  A ) )
112, 1, 33jca 1161 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
12 nnz 9092 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
13123ad2ant1 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
14 nnz 9092 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
15143ad2ant2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
16 gcdcom 11685 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( B  gcd  A ) )
1713, 15, 16syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  =  ( B  gcd  A
) )
1817eqeq1d 2148 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  1  <->  ( B  gcd  A )  =  1 ) )
1918biimpa 294 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( B  gcd  A )  =  1 )
20 rplpwr 11738 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( B  gcd  A
)  =  1  -> 
( ( B ^ N )  gcd  A
)  =  1 ) )
2111, 19, 20sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( ( B ^ N )  gcd 
A )  =  1 )
2210, 21eqtrd 2172 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( A  gcd  ( B ^ N ) )  =  1 )
23 rplpwr 11738 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( B ^ N )  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  ( B ^ N ) )  =  1  ->  (
( A ^ N
)  gcd  ( B ^ N ) )  =  1 ) )
246, 22, 23sylc 62 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( ( A ^ N )  gcd  ( B ^ N
) )  =  1 )
2524ex 114 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( A ^ N )  gcd  ( B ^ N ) )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5777   1c1 7640   NNcn 8739   ZZcz 9073   ^cexp 10316    gcd cgcd 11658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-sup 6874  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-fl 10067  df-mod 10120  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-dvds 11517  df-gcd 11659
This theorem is referenced by:  sqgcd  11740
  Copyright terms: Public domain W3C validator