Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rppwr GIF version

Theorem rppwr 11772
 Description: If 𝐴 and 𝐵 are relatively prime, then so are 𝐴↑𝑁 and 𝐵↑𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rppwr ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) = 1))

Proof of Theorem rppwr
StepHypRef Expression
1 simpl1 985 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∈ ℕ)
2 simpl2 986 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℕ)
3 simpl3 987 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 9074 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ0)
52, 4nnexpcld 10497 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵𝑁) ∈ ℕ)
61, 5, 33jca 1162 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
71nnzd 9216 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
85nnzd 9216 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵𝑁) ∈ ℤ)
9 gcdcom 11718 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 gcd (𝐵𝑁)) = ((𝐵𝑁) gcd 𝐴))
107, 8, 9syl2anc 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 gcd (𝐵𝑁)) = ((𝐵𝑁) gcd 𝐴))
112, 1, 33jca 1162 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
12 nnz 9117 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
13123ad2ant1 1003 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
14 nnz 9117 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
15143ad2ant2 1004 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
16 gcdcom 11718 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
1713, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
1817eqeq1d 2149 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐴) = 1))
1918biimpa 294 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
20 rplpwr 11771 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 → ((𝐵𝑁) gcd 𝐴) = 1))
2111, 19, 20sylc 62 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ((𝐵𝑁) gcd 𝐴) = 1)
2210, 21eqtrd 2173 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 gcd (𝐵𝑁)) = 1)
23 rplpwr 11771 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd (𝐵𝑁)) = 1 → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) = 1))
246, 22, 23sylc 62 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) = 1)
2524ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) = 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5783  1c1 7665  ℕcn 8764  ℤcz 9098  ↑cexp 10343   gcd cgcd 11691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-sup 6881  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-fl 10094  df-mod 10147  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-dvds 11550  df-gcd 11692 This theorem is referenced by:  sqgcd  11773
 Copyright terms: Public domain W3C validator