Theorem seqex 10908

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10907	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
2		frecex 6669	. . 3 ⊢ frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∈ V
3	2	rnex 5052	. 2 ⊢ ran frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2311	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712  ran crn 4777  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  freccfrec 6665  1c1 8187   + caddc 8189  ℤ_≥cuz 9938  seqcseq 10906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-recs 6580  df-frec 6666  df-seqfrec 10907

This theorem is used by:  seq3shft  11626  clim2ser  12129  clim2ser2  12130  isermulc2  12132  iser3shft  12138  fsum3cvg  12171  sumrbdc  12172  isumclim3  12216  sumnul  12217  isumadd  12224  trireciplem  12293  geolim  12304  geolim2  12305  geo2lim  12309  geoisum1c  12313  mertensabs  12330  clim2prod  12332  clim2divap  12333  ntrivcvgap  12341  fproddccvg  12365  prodrbdclem2  12366  fprodntrivap  12377  efcj  12466  eftlub  12483  eflegeo  12494  nninfdc  13403  gzsumfzval  13771  gzsumval2  13774  mulgfvalg  13984  log2tlbndlog2  16232  trilpolemisumle  17306  trilpolemeq1  17308