ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqex GIF version

Theorem seqex 10446
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seqfrec 10445 . 2 seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
2 frecex 6394 . . 3 frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∈ V
32rnex 4894 . 2 ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∈ V
41, 3eqeltri 2250 1 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 2148  Vcvv 2737  cop 3595  ran crn 4627  cfv 5216  (class class class)co 5874  cmpo 5876  freccfrec 6390  1c1 7811   + caddc 7813  cuz 9527  seqcseq 10444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-recs 6305  df-frec 6391  df-seqfrec 10445
This theorem is referenced by:  seq3shft  10846  clim2ser  11344  clim2ser2  11345  isermulc2  11347  iser3shft  11353  fsum3cvg  11385  sumrbdc  11386  isumclim3  11430  sumnul  11431  isumadd  11438  trireciplem  11507  geolim  11518  geolim2  11519  geo2lim  11523  geoisum1c  11527  mertensabs  11544  clim2prod  11546  clim2divap  11547  ntrivcvgap  11555  fproddccvg  11579  prodrbdclem2  11580  fprodntrivap  11591  efcj  11680  eftlub  11697  eflegeo  11708  nninfdc  12453  mulgfvalg  12984  trilpolemisumle  14756  trilpolemeq1  14758
  Copyright terms: Public domain W3C validator