Theorem seqex 10869

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10868	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
2		frecex 6659	. . 3 ⊢ frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∈ V
3	2	rnex 5048	. 2 ⊢ ran frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2311	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3711  ran crn 4773  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ∈ cmpo 6081  freccfrec 6655  1c1 8174   + caddc 8176  ℤ_≥cuz 9904  seqcseq 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-recs 6570  df-frec 6656  df-seqfrec 10868

This theorem is referenced by:  seq3shft  11586  clim2ser  12086  clim2ser2  12087  isermulc2  12089  iser3shft  12095  fsum3cvg  12128  sumrbdc  12129  isumclim3  12173  sumnul  12174  isumadd  12181  trireciplem  12250  geolim  12261  geolim2  12262  geo2lim  12266  geoisum1c  12270  mertensabs  12287  clim2prod  12289  clim2divap  12290  ntrivcvgap  12298  fproddccvg  12322  prodrbdclem2  12323  fprodntrivap  12334  efcj  12423  eftlub  12440  eflegeo  12451  nninfdc  13327  gzsumfzval  13694  gzsumval2  13697  mulgfvalg  13907  log2tlbndlog2  16065  trilpolemisumle  17061  trilpolemeq1  17063