Theorem seqex 10465

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10464	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
2		frecex 6413	. . 3 ⊢ frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∈ V
3	2	rnex 4909	. 2 ⊢ ran frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2262	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752  ⟨cop 3610  ran crn 4642  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891   ∈ cmpo 5893  freccfrec 6409  1c1 7830   + caddc 7832  ℤ_≥cuz 9546  seqcseq 10463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-recs 6324  df-frec 6410  df-seqfrec 10464

This theorem is referenced by:  seq3shft  10865  clim2ser  11363  clim2ser2  11364  isermulc2  11366  iser3shft  11372  fsum3cvg  11404  sumrbdc  11405  isumclim3  11449  sumnul  11450  isumadd  11457  trireciplem  11526  geolim  11537  geolim2  11538  geo2lim  11542  geoisum1c  11546  mertensabs  11563  clim2prod  11565  clim2divap  11566  ntrivcvgap  11574  fproddccvg  11598  prodrbdclem2  11599  fprodntrivap  11610  efcj  11699  eftlub  11716  eflegeo  11727  nninfdc  12472  mulgfvalg  13029  trilpolemisumle  15184  trilpolemeq1  15186