Theorem sum0 12180

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	|- sum_ k e. (/) A = 0

Proof of Theorem sum0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9974	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9682	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		0ss 3561	. . . . 5 |- (/) C_ NN
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (/) C_ NN )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
6	5, 1	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		c0ex 8326	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
8	7	fvconst2 5934	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
9	6, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
10		noel 3525	. . . . . 6 |- -. k e. (/)
11	10	iffalsei 3649	. . . . 5 |- if ( k e. (/) , A , 0 ) = 0
12	9, 11	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = if ( k e. (/) , A , 0 ) )
13		noel 3525	. . . . . . . 8 |- -. j e. (/)
14	13	olci 744	. . . . . . 7 |- ( j e. (/) \/ -. j e. (/) )
15		df-dc 847	. . . . . . 7 |- (DECID j e. (/) <-> ( j e. (/) \/ -. j e. (/) ) )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . 6 |- DECID j e. (/)
17	16	rgenw 2605	. . . . 5 |- A. j e. NN DECID j e. (/)
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> A. j e. NN DECID j e. (/) )
19	10	pm2.21i 655	. . . . 5 |- ( k e. (/) -> A e. CC )
20	19	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. (/) ) -> A e. CC )
21	1, 2, 4, 12, 18, 20	zsumdc 12176	. . 3 |- ( T. -> sum_ k e. (/) A = ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) )
22	21	mptru 1411	. 2 |- sum_ k e. (/) A = ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) )
23		fclim 12085	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
24		ffun 5539	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
26		1z 9681	. . . 4 |- 1 e. ZZ
27		serclim0 12096	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
28	26, 27	ax-mp 5	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
29		funbrfv 5742	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 -> ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) )
30	25, 28, 29	mp2 16	. 2 |- ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) = 0
31	22, 30	eqtri 2259	1 |- sum_ k e. (/) A = 0

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   dom cdm 4776   Fun wfun 5374   -->wf 5376   ` cfv 5380   CCcc 8183   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   NNcn 9313   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   seqcseq 10905   ~~> cli 12069   sum_csu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  isumz  12181  fsumf1o  12182  fsumcllem  12191  fsumadd  12198  fsum2d  12227  fisumrev2  12238  fsummulc2  12240  fsumconst  12246  modfsummod  12250  fsumabs  12257  telfsumo  12258  fsumparts  12262  fsumrelem  12263  fsumiun  12269  isumsplit  12283  arisum  12290  arisum2  12291  cvgratnnlemseq  12318  bitsinv1  12754  gsumfsum  15032  fsumcncntop  15793  dvmptfsum  15951  logfac  16126  log2ublem3  16223  cht1  16271