Theorem sum0 11049

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	|- sum_ k e. (/) A = 0

Proof of Theorem sum0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9263	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 8985	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		0ss 3367	. . . . 5 |- (/) C_ NN
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (/) C_ NN )
5		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
6	5, 1	syl6eleq 2207	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		c0ex 7684	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
8	7	fvconst2 5590	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
9	6, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
10		noel 3333	. . . . . 6 |- -. k e. (/)
11	10	iffalsei 3449	. . . . 5 |- if ( k e. (/) , A , 0 ) = 0
12	9, 11	syl6eqr 2165	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = if ( k e. (/) , A , 0 ) )
13		noel 3333	. . . . . . . 8 |- -. j e. (/)
14	13	olci 704	. . . . . . 7 |- ( j e. (/) \/ -. j e. (/) )
15		df-dc 803	. . . . . . 7 |- (DECID j e. (/) <-> ( j e. (/) \/ -. j e. (/) ) )
16	14, 15	mpbir 145	. . . . . 6 |- DECID j e. (/)
17	16	rgenw 2461	. . . . 5 |- A. j e. NN DECID j e. (/)
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> A. j e. NN DECID j e. (/) )
19	10	pm2.21i 618	. . . . 5 |- ( k e. (/) -> A e. CC )
20	19	adantl 273	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. (/) ) -> A e. CC )
21	1, 2, 4, 12, 18, 20	zsumdc 11045	. . 3 |- ( T. -> sum_ k e. (/) A = ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) )
22	21	mptru 1323	. 2 |- sum_ k e. (/) A = ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) )
23		fclim 10955	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
24		ffun 5233	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
25	23, 24	ax-mp 7	. . 3 |- Fun ~~>
26		1z 8984	. . . 4 |- 1 e. ZZ
27		serclim0 10966	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
28	26, 27	ax-mp 7	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
29		funbrfv 5414	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 -> ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) )
30	25, 28, 29	mp2 16	. 2 |- ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) = 0
31	22, 30	eqtri 2135	1 |- sum_ k e. (/) A = 0

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   \/ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1314   T. wtru 1315   e. wcel 1463   A.wral 2390   C_ wss 3037   (/)c0 3329   ifcif 3440   {csn 3493   class class class wbr 3895   X. cxp 4497   dom cdm 4499   Fun wfun 5075   -->wf 5077   ` cfv 5081   CCcc 7545   0cc0 7547   1c1 7548   + caddc 7550   NNcn 8630   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   seqcseq 10111   ~~> cli 10939   sum_csu 11014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-ihash 10415  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940  df-sumdc 11015

This theorem is referenced by:  isumz  11050  fsumf1o  11051  fsumcllem  11060  fsumadd  11067  fsum2d  11096  fisumrev2  11107  fsummulc2  11109  fsumconst  11115  modfsummod  11119  fsumabs  11126  telfsumo  11127  fsumparts  11131  fsumrelem  11132  fsumiun  11138  isumsplit  11152  arisum  11159  arisum2  11160  cvgratnnlemseq  11187  fsumcncntop  12542