Theorem sum0 12105

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	|- sum_ k e. (/) A = 0

Proof of Theorem sum0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9913	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9626	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		0ss 3551	. . . . 5 |- (/) C_ NN
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (/) C_ NN )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
6	5, 1	eleqtrdi 2327	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		c0ex 8286	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
8	7	fvconst2 5907	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
9	6, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
10		noel 3516	. . . . . 6 |- -. k e. (/)
11	10	iffalsei 3636	. . . . 5 |- if ( k e. (/) , A , 0 ) = 0
12	9, 11	eqtr4di 2285	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ` k ) = if ( k e. (/) , A , 0 ) )
13		noel 3516	. . . . . . . 8 |- -. j e. (/)
14	13	olci 740	. . . . . . 7 |- ( j e. (/) \/ -. j e. (/) )
15		df-dc 843	. . . . . . 7 |- (DECID j e. (/) <-> ( j e. (/) \/ -. j e. (/) ) )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . 6 |- DECID j e. (/)
17	16	rgenw 2599	. . . . 5 |- A. j e. NN DECID j e. (/)
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> A. j e. NN DECID j e. (/) )
19	10	pm2.21i 651	. . . . 5 |- ( k e. (/) -> A e. CC )
20	19	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. (/) ) -> A e. CC )
21	1, 2, 4, 12, 18, 20	zsumdc 12101	. . 3 |- ( T. -> sum_ k e. (/) A = ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) )
22	21	mptru 1407	. 2 |- sum_ k e. (/) A = ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) )
23		fclim 12010	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
24		ffun 5518	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
26		1z 9625	. . . 4 |- 1 e. ZZ
27		serclim0 12021	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
28	26, 27	ax-mp 5	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
29		funbrfv 5720	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 -> ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) )
30	25, 28, 29	mp2 16	. 2 |- ( ~~> ` seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ) = 0
31	22, 30	eqtri 2255	1 |- sum_ k e. (/) A = 0

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ifcif 3625   {csn 3695   class class class wbr 4115   X. cxp 4754   dom cdm 4756   Fun wfun 5353   -->wf 5355   ` cfv 5359   CCcc 8143   0cc0 8145   1c1 8146   + caddc 8148   NNcn 9259   ZZcz 9599   ZZ>=cuz 9876   seqcseq 10838   ~~> cli 11994   sum_csu 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-frec 6637  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6782  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-ihash 11169  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-clim 11995  df-sumdc 12070

This theorem is referenced by:  isumz  12106  fsumf1o  12107  fsumcllem  12116  fsumadd  12123  fsum2d  12152  fisumrev2  12163  fsummulc2  12165  fsumconst  12171  modfsummod  12175  fsumabs  12182  telfsumo  12183  fsumparts  12187  fsumrelem  12188  fsumiun  12194  isumsplit  12208  arisum  12215  arisum2  12216  cvgratnnlemseq  12243  bitsinv1  12679  gsumfsum  14867  fsumcncntop  15563  dvmptfsum  15721