ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sum0 Unicode version

Theorem sum0 10744
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0

Proof of Theorem sum0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9023 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 8747 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 0ss 3318 . . . . 5  |-  (/)  C_  NN
43a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  C_  NN )
5 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
65, 1syl6eleq 2180 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7 c0ex 7461 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
87fvconst2 5495 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
96, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  0 )
10 noel 3288 . . . . . 6  |-  -.  k  e.  (/)
1110iffalsei 3398 . . . . 5  |-  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 )  =  0
129, 11syl6eqr 2138 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 ) )
13 noel 3288 . . . . . . . 8  |-  -.  j  e.  (/)
1413olci 686 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  (/)  \/  -.  j  e.  (/) )
15 df-dc 781 . . . . . . 7  |-  (DECID  j  e.  (/) 
<->  ( j  e.  (/)  \/ 
-.  j  e.  (/) ) )
1614, 15mpbir 144 . . . . . 6  |- DECID  j  e.  (/)
1716rgenw 2430 . . . . 5  |-  A. j  e.  NN DECID  j  e.  (/)
1817a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. j  e.  NN DECID  j  e.  (/) )
1910pm2.21i 610 . . . . 5  |-  ( k  e.  (/)  ->  A  e.  CC )
2019adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  (/) )  ->  A  e.  CC )
211, 2, 4, 12, 18, 20zisum 10738 . . 3  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ,  CC ) ) )
2221mptru 1298 . 2  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `
 seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ,  CC ) )
23 fclim 10646 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
24 ffun 5150 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
2523, 24ax-mp 7 . . 3  |-  Fun  ~~>
26 1z 8746 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
27 iserclim0 10658 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ,  CC ) 
~~>  0 )
2826, 27ax-mp 7 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) ,  CC )  ~~>  0
29 funbrfv 5327 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) ,  CC )  ~~>  0  -> 
(  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) ,  CC ) )  =  0 ) )
3025, 28, 29mp2 16 . 2  |-  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ,  CC ) )  =  0
3122, 30eqtri 2108 1  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289   T. wtru 1290    e. wcel 1438   A.wral 2359    C_ wss 2997   (/)c0 3284   ifcif 3389   {csn 3441   class class class wbr 3837    X. cxp 4426   dom cdm 4428   Fun wfun 4996   -->wf 4998   ` cfv 5002   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332   NNcn 8394   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988    seqcseq4 9816    ~~> cli 10630   sum_csu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  isumz  10745  fsumf1o  10746  fsumcllem  10756  fsumadd  10763  fsum2d  10792  fisumrev2  10803  fsummulc2  10805  fsumconst  10811  modfsummod  10815  fsumabs  10822  telfsumo  10823  fsumparts  10827  fsumrelem  10828  fsumiun  10833  isumsplit  10847  arisum  10853  arisum2  10854
  Copyright terms: Public domain W3C validator