Theorem swrdval2 11219

Description: Value of the subword extractor in its intended domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdval2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝐴

Proof of Theorem swrdval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		elfzelz 10248	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ ℤ)
4		elfzelz 10248	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		swrdval 11216	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
8		elfzuz 10244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
9	8	3ad2ant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
10		fzoss1 10396	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^𝐿))
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^𝐿))
12		elfzuz3 10245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
13	12	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
14		fzoss2 10397	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
16	11, 15	sstrd 3235	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
17		wrddm 11108	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
18	17	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
19	16, 18	sseqtrrd 3264	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
20	19	iftrued 3610	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
21	7, 20	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  ifcif 3603  ⟨cop 3670   ↦ cmpt 4146  dom cdm 4721  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  0cc0 8020   + caddc 8023   − cmin 8338  ℤcz 9467  ℤ_≥cuz 9743  ...cfz 10231  ..^cfzo 10365  ♯chash 11025  Word cword 11100   substr csubstr 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-ihash 11026  df-word 11101  df-substr 11214

This theorem is referenced by:  swrdlen  11220  swrdfv  11221  swrdwrdsymbg  11232  pfxmpt  11248  swrdswrd  11273