Theorem wrdnval 10934

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2481	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
2		0z 9318	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		nn0z 9327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		fzofig 10493	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
7		elmapg 6706	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
8	6, 7	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
9		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
10		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		iswrdinn0 10909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
13		fnfzo0hash 10896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
14	13	adantll 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
15	12, 14	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
16	15	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
17		wrdf 10910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
18		oveq2 5918	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
19	18	feq2d 5383	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉 ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
20	17, 19	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
21	20	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
22	16, 21	impbid1 142	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
23	8, 22	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
24	23	eqabdv 2322	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
25	1, 24	eqtr4id 2245	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  {crab 2476  ⟶wf 5242  ‘cfv 5246  (class class class)co 5910   ↑_𝑚 cmap 6693  Fincfn 6785  0cc0 7862  ℕ₀cn0 9230  ℤcz 9307  ..^cfzo 10198  ♯chash 10836  Word cword 10904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-map 6695  df-en 6786  df-dom 6787  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-ihash 10837  df-word 10905

This theorem is referenced by:  wrdmap  10935