ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wrdnval GIF version

Theorem wrdnval 10950
Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdnval ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉𝑚 (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval
StepHypRef Expression
1 df-rab 2484 . 2 {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
2 0z 9334 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
3 nn0z 9343 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
43adantl 277 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 fzofig 10509 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
62, 4, 5sylancr 414 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
7 elmapg 6720 . . . . 5 ((𝑉𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
86, 7syldan 282 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
9 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
10 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 iswrdinn0 10925 . . . . . . . 8 ((𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
129, 10, 11syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
13 fnfzo0hash 10912 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
1413adantll 476 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
1512, 14jca 306 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
1615ex 115 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
17 wrdf 10926 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
18 oveq2 5930 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
1918feq2d 5395 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
2017, 19syl5ibcom 155 . . . . . 6 (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
2120imp 124 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
2216, 21impbid1 142 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
238, 22bitrd 188 . . 3 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
2423eqabdv 2325 . 2 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉𝑚 (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
251, 24eqtr4id 2248 1 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉𝑚 (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2167  {cab 2182  {crab 2479  wf 5254  cfv 5258  (class class class)co 5922  𝑚 cmap 6707  Fincfn 6799  0cc0 7877  0cn0 9246  cz 9323  ..^cfzo 10214  chash 10852  Word cword 10920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-ihash 10853  df-word 10921
This theorem is referenced by:  wrdmap  10951
  Copyright terms: Public domain W3C validator