Theorem wrdnval 11088

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2517	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
2		0z 9445	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		nn0z 9454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		fzofig 10641	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
7		elmapg 6798	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
8	6, 7	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
9		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
10		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		iswrdinn0 11063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
13		fnfzo0hash 11044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
14	13	adantll 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
15	12, 14	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
16	15	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
17		wrdf 11064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
18		oveq2 6002	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
19	18	feq2d 5457	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉 ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
20	17, 19	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
21	20	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
22	16, 21	impbid1 142	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
23	8, 22	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
24	23	eqabdv 2358	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
25	1, 24	eqtr4id 2281	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑𝑚 (0..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  {crab 2512  ⟶wf 5310  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994   ↑_𝑚 cmap 6785  Fincfn 6877  0cc0 7987  ℕ₀cn0 9357  ℤcz 9434  ..^cfzo 10326  ♯chash 10984  Word cword 11058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-map 6787  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-ihash 10985  df-word 11059

This theorem is referenced by:  wrdmap  11089