Theorem zncrng 15029

Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncrng.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
zncrng	|- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )

Proof of Theorem zncrng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9668	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		eqid 2238	. . . 4 |- (RSpan ` ℤring ) = (RSpan ` ℤring )
3		eqid 2238	. . . 4 |- (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) )
4	2, 3	zncrng2 15019	. . 3 |- ( N e. ZZ -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) e. CRing )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) e. CRing )
6		eqidd 2239	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) = ( Base ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) )
7		zncrng.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
8	2, 3, 7	znbas2 15024	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) = ( Base ` Y ) )
9	2, 3, 7	znadd 15025	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( +g ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) = ( +g ` Y ) )
10	9	oveqdr 6113	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. ( Base ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) /\ y e. ( Base ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) ) ) -> ( x ( +g ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) y ) = ( x ( +g ` Y ) y ) )
11	2, 3, 7	znmul 15026	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( .r ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) = ( .r ` Y ) )
12	11	oveqdr 6113	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. ( Base ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) /\ y e. ( Base ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) ) ) -> ( x ( .r ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) y ) = ( x ( .r ` Y ) y ) )
13	6, 8, 10, 12	crngpropd 14393	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) e. CRing <-> Y e. CRing ) )
14	5, 13	mpbid 147	1 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   NN0cn0 9567   ZZcz 9648   Basecbs 13401   +g cplusg 13480   .rcmulr 13481   /._s cqus 13672   ~_QG cqg 14021   CRingccrg 14350  RSpancrsp 14854  ℤ_ringczring 14974  ℤ/nℤczn 14997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-rp 10065  df-fz 10422  df-cj 11621  df-abs 11779  df-struct 13403  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-iress 13409  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-starv 13495  df-sca 13496  df-vsca 13497  df-ip 13498  df-tset 13499  df-ple 13500  df-ds 13502  df-unif 13503  df-0g 13661  df-topgen 13663  df-iimas 13673  df-qus 13674  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857  df-minusg 13858  df-sbg 13859  df-subg 14022  df-nsg 14023  df-eqg 14024  df-cmn 14138  df-abl 14139  df-mgp 14267  df-rng 14281  df-ur 14312  df-srg 14317  df-ring 14351  df-cring 14352  df-oppr 14422  df-rhm 14508  df-subrg 14576  df-lmod 14674  df-lssm 14739  df-lsp 14773  df-sra 14821  df-rgmod 14822  df-lidl 14855  df-rsp 14856  df-2idl 14886  df-bl 14932  df-mopn 14933  df-fg 14935  df-metu 14936  df-cnfld 14943  df-zring 14975  df-zrh 14998  df-zn 15000

This theorem is used by:  zndvds0  15034  znf1o  15035  znleval  15037  znidom  15041  znunit  15043  znrrg  15044  lgseisenlem4  16290