Theorem ztri3or 9121

Description: Integer trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem ztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9119	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2		ztri3or0 9120	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
4		zre 9082	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 9082	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	5, 7	posdifd 8318	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
9	7, 5	resubcld 8167	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
10	9	lt0neg2d 8302	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑁 − 𝑀) ↔ -(𝑁 − 𝑀) < 0))
11	7	recnd 7818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	5	recnd 7818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
13	11, 12	negsubdi2d 8113	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝑁 − 𝑀) = (𝑀 − 𝑁))
14	13	breq1d 3947	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝑁 − 𝑀) < 0 ↔ (𝑀 − 𝑁) < 0))
15	8, 10, 14	3bitrd 213	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 − 𝑁) < 0))
16	12, 11	subeq0ad 8107	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
17	16	bicomd 140	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 − 𝑁) = 0))
18	7, 5	posdifd 8318	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
19	15, 17, 18	3orbi123d 1290	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁))))
20	3, 19	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644   < clt 7824   − cmin 7957  -cneg 7958  ℤcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  zletric  9122  zlelttric  9123  zltnle  9124  zleloe  9125  zapne  9149  zdceq  9150  zdcle  9151  zdclt  9152  uzm1  9380  qtri3or  10051  iseqf1olemkle  10288  iseqf1olemklt  10289  cvgratz  11333  divalglemeunn  11654  divalglemeuneg  11656  znege1  11892