Theorem ztri3or 9386

Description: Integer trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem ztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9384	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2		ztri3or0 9385	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
4		zre 9347	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 9347	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	5, 7	posdifd 8576	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
9	7, 5	resubcld 8424	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
10	9	lt0neg2d 8560	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑁 − 𝑀) ↔ -(𝑁 − 𝑀) < 0))
11	7	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	5	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
13	11, 12	negsubdi2d 8370	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝑁 − 𝑀) = (𝑀 − 𝑁))
14	13	breq1d 4044	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝑁 − 𝑀) < 0 ↔ (𝑀 − 𝑁) < 0))
15	8, 10, 14	3bitrd 214	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 − 𝑁) < 0))
16	12, 11	subeq0ad 8364	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
17	16	bicomd 141	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 − 𝑁) = 0))
18	7, 5	posdifd 8576	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
19	15, 17, 18	3orbi123d 1322	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁))))
20	3, 19	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896   < clt 8078   − cmin 8214  -cneg 8215  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  zletric  9387  zlelttric  9388  zltnle  9389  zleloe  9390  zapne  9417  zdceq  9418  zdcle  9419  zdclt  9420  uzm1  9649  qtri3or  10347  iseqf1olemkle  10606  iseqf1olemklt  10607  iswrdiz  10959  cvgratz  11714  divalglemeunn  12103  divalglemeuneg  12105  znege1  12371  lgsdilem  15352