ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ztri3or GIF version

Theorem ztri3or 8703
Description: Integer trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ztri3or ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem ztri3or
StepHypRef Expression
1 zsubcl 8701 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
2 ztri3or0 8702 . . 3 ((𝑀𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀𝑁) < 0 ∨ (𝑀𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀𝑁)))
31, 2syl 14 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) < 0 ∨ (𝑀𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀𝑁)))
4 zre 8664 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 270 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6 zre 8664 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
76adantl 271 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
85, 7posdifd 7927 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))
97, 5resubcld 7780 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
109lt0neg2d 7912 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑁𝑀) ↔ -(𝑁𝑀) < 0))
117recnd 7437 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
125recnd 7437 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
1311, 12negsubdi2d 7730 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝑁𝑀) = (𝑀𝑁))
1413breq1d 3824 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝑁𝑀) < 0 ↔ (𝑀𝑁) < 0))
158, 10, 143bitrd 212 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁) < 0))
1612, 11subeq0ad 7724 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
1716bicomd 139 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁) = 0))
187, 5posdifd 7927 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀𝑁)))
1915, 17, 183orbi123d 1245 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀𝑁) < 0 ∨ (𝑀𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀𝑁))))
203, 19mpbird 165 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3o 921   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  cr 7270  0cc0 7271   < clt 7443  cmin 7574  -cneg 7575  cz 8660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661
This theorem is referenced by:  zletric  8704  zlelttric  8705  zltnle  8706  zleloe  8707  zapne  8731  zdceq  8732  zdcle  8733  zdclt  8734  uzm1  8958  qtri3or  9557  divalglemeunn  10715  divalglemeuneg  10717  znege1  10950
  Copyright terms: Public domain W3C validator