Theorem df2idl2 14315

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
df2idl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
df2idl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
df2idl2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem df2idl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2idl2rng.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	eleq2i 2273	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3	2	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4	3	2idllidld 14312	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
6	5	lidlsubg 14292	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7	4, 6	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
8		ringrng 13842	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
9		df2idl2rng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		df2idl2rng.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	1, 9, 10	df2idl2rng 14314	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
12	8, 11	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
13	7, 12	biadanid 614	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  ._rcmulr 12954  SubGrpcsubg 13547  Rngcrng 13738  Ringcrg 13802  LIdealclidl 14273  2Idealc2idl 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-subg 13550  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-rng 13739  df-ur 13766  df-ring 13804  df-oppr 13874  df-subrg 14025  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-2idl 14306

This theorem is referenced by: (None)